DtuMème sobttioH. apposons que les arcs

la ciroonférence d’un rayon BD=3BO, soient pkirosAms par lépoiirt Bdé cette circoifl6renoe,‘dans le même temps que le pàint Bde la ^le AB par- ' court jes droites respectivement égaies BB'j'B'B*, B% "’j.. , oa cKcevrà fitcilement une' Machine ^émentaire form^,‘i® d’une règle ABB', et d'une cycloïde BM ejigeudrée par le cercle du rayon BO, moitié du rayon donné BD ; a° d'une seconde règle' DB. mobile autour du centre D.’

La cycloïde, en s’avançant parallèlement A-elle-mémë dans la. direction ABB'..,. pressera le rayon DB^et en la considérant dans la position Btc'/n*, elle aura pour normale au point c'Ja droite Bc’, 'et pour tangente la droite De" qui, prolongée, coupe ^.cercle BA A’A"’.a« point A';ur l’arc Bc' du rayon OB est de même longueur que l’arc BA’ d'un, rpyoh double ; il est aussi égal en longueur à la droite Bfi"; donc , cette droite BB" et l’arc BA' sont de même longueur; d’où il suit que la cycloïde, qui dans toutes ses positions presse la règle ABB", mobile Autour du centre D, est tangente à cette même règle, de manière que le poiqt.de contact, d’abord ^ à l’extrémité B du rayon BD, est en lorsque la règle arrive dans la position De” A". ' ' . ' . . .

46. Nous avons considéré le cas où le m'ouveinent recdligpè d’un point se transforme en un mouvement circulaire d’un autre point;.proposousnons maintenant de résoudre la-question inverse. Un pointdécrit successivement les arcs BB', B'B”,B'3"'.'.. d’un éircle dn rayon Afi:(fig. 9, pl. a);Oo demande que le point B de la' règle CB, parcourt! dans-le même temps les droites Bd, c c , cc".,. de même longnitir que les arcs. .\ <r .

Soit (fig. 9, pl. a) BM -la développante du cercle' dp rayon AB; on la suppose .invariablmnent foée è- ce taj^a, qui' est mel^le autour du centre A. * - ^

I.a règle Cc'c'..-. , maintenue par des, coulisses, se meut dans le sens de .sa longueur, de manière que le point B de cette règle parcoure la droite Bc'c'.v‘, la développante presse une pointe saillante âxée au point fi de la repie CB, et fait parcourir à ce point des droites Bc',«c',c*C'", -respectivement égales en longueur aux arcs Bfi',BB'... En effet, il est évident que la .développante BM, transportée -a vëc le rayon AB en B'/n’ coupe la droite CBc” ea un poipt cT tel , que l’aéc BB' du rayon AB est de -même langueur .que la droite Bc"; éinis on a, par la même raison , Bc' =; arc BB'; donc arc BB=;Bc',arc B B'=î=c'c',*rc B tf''=cV"... ^ " .1'

Dkîiî 's^.J by Go'

■èi loD suppose que. bT règle Ce b',., soit terminée à la droite BO, pçrpendiculaire à la partie Bc'e* de cette règle..., la développante DM sera, dans toutes ses poaitions B'c'm', B'cW..., tangente à la droite BD, qui prend les positions correspondantes c'd,c’d'..., et le point de contact sur'cette,. droite ne variera pas. . *■ tM.. , • • • . * V . ..v -

■ -Jts ■

DES ROUES DENTEES.

47. Lorsque deox- roues dentées engrènent l’ane dans l’autre, la plusgrande se nomme roue, et la plus petite s’appelle /7ÿ/ian. Dans les môu- Üds à eau, les roues dentées s’appelle rouets, parce quelles sont plus petites que la roue, qui reçoit directement l’action de l’eau, et qu’on nomme simplement roue. , •

Dans les petites Machines, onhiit ordinairement les roues d^une saule pièce (ju’on fend en plusieurs parties égales pour y faire de< dents; -les petites rhues de cette espèce s^ nomment pignons.

Dans les grandes Machines, au lieu des pignons d’une seule pièce, on assemble paraHèl«nent entre eux, et à distances égales, plusieurs fuseaux cylindriques ou coniques dans des plateaux ronds; cet assemblage se nomme lanterne, et les plateaux ronds tourtes ou tourteaux.

Dans les petites- Machines où les dents sont toutes d’une même pièce avec le corps de la roue, on les nomme proprement àmts ; dans les' grandes Machines où les dents sont chaflune d’une pièce particulière, on les nomme aluchons. ' • '

Il y a deux espèces d'engrenages; il est èxtérienr ou intérieur, selon que les dents sont fixées sur le bord extérieur ou sur le bord intérieur de la roue. Dansl’un ôn l’autre engrenage, chaqge dent est terminée par deux surfaces qui sont égales et symétriquement placées par rapport à un plan passant par l’axe de la roue. Il résulte de cette disposition dés dents, que lorsque deux roues engrènent l’une dans l'autre , elles peuvent se trans- , meure le mouvement de rotation dans deux sens différens; la sur&ce d'une, moitié de est en partie courbe et en partie plane ; la portion cmirBe'' termine ce qù’on appelle proprement la dent; l’autre' portion appartient au flanc; la dent d’une des roues conduit l’autre roue en pressant ïe/lanc de celle^i, et réciproqiiemeo^ ' •t

.Jusqu’à présent on n^’est occupé que de la forme à donner à la portion courbe des dents; datft ce chapitre, nous dctennineroiis rigotireuseroeut

368'* ' ‘ JRAITK

la graiideiir dses flancs d’une tiw rones, d’après ia^flrandeur des dents d<“

' l’autre roue, êt nous assignerons la forme -qu'on doit donner au creux de deux dents consécutive^ c’est*à-dire à fintervalle qui les sèpare.'La solution de ces dernières questions est importante dans la pratique ;.'on confit, en effet, qu’étant donné lé MÜde minimiau destiné à former' le corps d^one ' des roues f il est utile de n’enlevpr du solide duimé que ce qui peijt-s’opposer au libre passage des dents de l'autre roue. . . .

De la fbnne tUs dents de'deux roues ryUn'drùfùes (,fig. i ."pl. 3, Chap. a).

48. On suppose que deux roues de même épaisseur, comprises entre deux plans parallèles, tournent autour de. deux axes parallèlés, passant par le centre de ces roues } on demande quelle furme'on doit donner aux dents de ces roues pour qu’elles se meuvent comme deux* eercles qui seraient dans le même plan, et constamment tangenS l'un à l’autre.

Soient A et B (6g. i , pi. 3) les projections des axes parallèles, autour desquels ces roues doivent tourner. On dis%e la droite qui joint cês deux points en deux parties AC, CB, dont le rapport es! égalA celui. des vitesses angulaires du point C autour des axes; bn décrit des pointe A et B, comme centres, '.deux cercles qui ont pour rayons )e;s droite$.AC et BC, qu’on nomioe les rayons primitifs des* roues. Les circonférences- de ces cercles étant dans le rapport de leurs rayons, ce rapport est 'déterminé par le nombre des dents des deux roues, en sorte qu’il est toujours exprimé en nombres entiers. • , . ^ ■

, 49- Le< épaisseurs des dents se mesurent sur les circonférences des rayons primitifs ; 'les dents de l’unè et' de l’nptré roue sont de même épaisseur. L'intervalle qui sépare deux dents consécutives' d’une.; même roue se nomme creux ; \ç^ épaisseurs des creux sont égales %nh*e elles, et se mesurent, ainsi que les épaisseurs des dents, sur les ci.rcoiiférences des rayons primibfs; on-donne aux creux un peu plus d'épaisseur qu’aux plains des dents'. . ’ *

So.vPour construire les roues des rayons primidfs AC eLBC, il. faut “'connaître les épaisseurs du creux et du plein d'une dent de^ première rôtie , m«nirées par les arcs DB, tX de 4a circonférence du rayon primitif 'AC. Ces épais.seurs dépendent en général de la ténacité de la matière dont les rouas sont ktrniées, et des résistances quelles doivent supporter. La somme DF des arcs DE, £F-doitétré contenue un nombre entier de fbisdans laxciâconitéreoces des rayons AC et BC. Le plein D'E et le creux d’une

DES MACHINES. 36f)

tle la roue, dont le raybn pcimitif est BC , sont respectivement t^aux au plein EF et au creux DE de la roue dont le rayon primitif est AC. Les deux dents, telles que EHF et D’G E‘, sont divisées en deux parties égales, l’iiiie par le plan .AH, et l’autre jwr le plan BG'; les deux creux DGE, E'HF, sont de même divisés en deux parties égales et symétriques parles plans kGg, BH/i. La demi-dent de chacune des deux roues, telle que G'E’ ou HE, est terminée par une surface cylindrique qui a pour base la courbe G’E’ ou HE; le contpur du demi-creux E'K'H' ou EKG est composé de deux parties, l’une terminée par un plan E K.' ou EK, qui est dirigée vers l’axe de rotation, et qu’on nomme \eflanc, et l’autre par une surface cylindrique KH ou KG; le plan du flanc et les surfaces cylindriques du plein et du creux d’une roue, sont perpendiculaires au plan de la roue.

5i. La figure d’une dent sera déterminée, lorsqu’on connaîtra les bases des surfaces cyliiulriqnes qui terminent le plein et le creux de cette dent, .ainsi que la grandeur du flanc. Ainsi, pour la première roue du rayon primitif AC (fig. i, pl. 3), il s’agit de construire les courbes HE, KG, et de déterminer la grandeur du flanc EK. Pour la roue du ri^on primitif BC, il faut de meme tracer les courbes G’E'j K’H', et déterminer la grandeur du flanc E'K’ : ces deux problèmes se résolvent de la même manière, et nous allons d’abord déterminer la figure de la dent de la roue, dont le rayon primitif est BC.

5a. Sur la droite -AC, comme diamètre, on décrit une circonférence quon fait tourner sur le cercle du rayon BC; dans ce mouvement, le point • G décrit une épicycloïde CM. prenons, sur le cercle du rayon BC, un arc

CN = D/» = , D'E’ étant I épaisseur donnée de la dent , et menant le

rayon BNM, qui coupe l’épicycloïde CM au point M, cet arc CM d’épicycloïde sera la courbe qu’on doit prendre pour la base de la surface cylindrique DG ou GE du plein de la dent.

53. A cet arc CM de la dent de la grande roue correspond un flanc de la petite roue dont on détermine la longueur de la manière suivante : du point B, comme centre , avec un rayon BM, on décrit un arc de cercle MPLG', qui coupe le cercle du diamètre AC au point P, et le cercle du rayon AC au point L. Du point A, comme centra;, avec AP pour rayon, on décrit le cercle VRPQ, qui coupe le rayon AC au point Q, et la droite CQ est la longueur du flanc de la roue du rayon primitif AC. La portion C.^l d'épicycloide conduisant leüanc CQ de AC en AC, elle passe de la po-

sition CM à une |x>sition PP, telle que l’arc CP' du rayon BC est égal en longueur à l’arc CP du diamètre AC; alors elle a pour tangente au point P le rayon APC (art. ao). Au-deli de cette position, la dent glisserait encore sur le flanc , qu’elle pousserait au-delà de AC, jusqu’à ce que les deux extrémités de la dent et du flanc fussent réunies au point L; alors la dent ne toucherait plus le flanc; l’extrémité P de la courbe PP' glisserait sur la partie PC du rayon AC , mais ne toucherait pas ce rayon ; car, si l’on suppose le rayon AC transporté en AL au-delà de AC, le point de contact de ce rayon AL et de l’épicycloïde mobile serait (art. ao) à l’intersection de la droite AL et du demi-cercle ACP. Ainsi, lorsque le flanc AC est arrivé en AC ,il faut qu’une autre dent, égale à la première , engrène avec un autre flanc , et quelle communique à la roue du rayon primitif AC un mouvemeuL uniforme de rotation. Aussitôt que cet engrenage aura lieu, le flanc, arrivé dans la position APC, cessera d’être pressé par la dent, et lorsque cette dent sera parvenue en LL', le flanc AC sera au-delà de AL.

Il est important que plusieurs dents de la grande roue agissent en mémo temps contre les flancs de la petite roue; par là, qp diminue la pression contre chacun 4es flancs, ain.si que le frottement correspondant à cefle pression.

54. On déterminera, d'après les mêmes règles, le flanc de la grande roue et la ligure du plein de la dent de la petite roue. Sur CB (fig. r, pl. 3), comme diamètre, on décrit un cercle CRB qu’on fait tourner sur le cercle du rayon AC; dans ce mouvement , le point de contact C de ces deux cercles engendre une épicycloïde telle que CM'. Supposons-la rapportée en Hd; D<f étant la demi-épaisseur de la «^nt de la petite roue,- le rayon A/</ coupe l’épicycloïdc Yid au point d, extrémité de la dent; donc, si du point A comme centre, avec kd pour rayon, on décrit le cercle r/HM'R , qui coupe le cercle CRB air. point R, la portion RS du rayon BS sera (l^t. 35) la grandeur du flanc de la grande roue. Ainsi, l’arc d'épicycloide CM', égal à Drf, tournant en même temps que le cercle du rayon AC autour du centre A de ce cercle, fera tourner le rayon CB autour du centre B, et fera parcourir à l’extrémité C de ce rayon, l’arc de cercle CS de même longueur que l’arc CR. Lorsque le rayon CB est en SB, il est touché en R par l’épicycloïde qui le conduit; ainsi l’arc d’épicycloide CM' glisse ds S en R sur le rayon qu'elle conduit de CB en SB, on le touchant contintielleineut. Au-delà de cettoqiosition SB, le flâne cesse d’étre en contact avec la dent de la petite roue; la grande roue est alors conduite par d’autres dents de la petite.

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55. 11 résulle de ces diverses constructions, que lademi-dent de lagrande

roue est terminée par un arc d’épicjdoïde , tel que G'E ,et par un flanc EK'==SR. Une demi-dent de la petite roue est terminée par un arc d’épicycloîde, tel que HE, et par un flanc EK; le contour de la d^i-dent suivante est formé de deux lignes rfD,DV, égales à EH et EK; il s’agit maintenant de déterminer le contour VGK du creux qui sép^e ces dfeux demi-dents consécuüves. Si l’on évidait la petite roue, suivant la flgure DVKE, formée par les droites DV et EK, et par l’arc de cercle VK, il est évident que la dent de la grande roue, terminée par une surface cylindrique qui a pour base l’arc d'épicycloïde CM, ne pourrait pas se loger dans l’intervalle qui séparerait deux dents consécutives; car l’extrémité M de la dent de la grande roue décrira sur le plan mobile de la circonférence de la petite roue, une courbe dont une portion sera dans l’intérieur du cercle VK décrit du point A comme centre, avec le rayon AV; I Jlourbe que le point M parcourra sur le plan du cercle dont le rayon est AC, sera donc la limite VGK de l’intervalle qui sépare deux dents consécutives; la détermination de cette courbe dépend de quelques considérations générales sur les mouvemens abioUis et relatifs. Nous allons exposer la partie descriptive ue la théorie de ces mouvemens.

Du mouvement relatif d'un point.

5G. lorsqu un point mobile change à chaque instant de position par rapport à trois axes rectangulaires fixes dans l’espace, sou mouvement est absolu ; ce mouvement est relatif lorsqu’on le rapporte *à trois axes rectangulaires mobiles.

(PI. 3, fig. a.) Deux surfaces courbes S et S' se meuvent dans l’espace; un point quelconque A de la surface 8 décrit une courbe AA'A'... dont la’ forme ét la position, par rapport aux trois axes fixes de l’espace 0-X,OY,OZ sont données; un point quelconque B de la surface S’ décrit dans le même’ temps une autre courbe BB B’... dont la forme et la position, par rapport aux axes fixes, sont connues; ces deux courbes déterminent les mouvemens absolus des points A et B. On demande les courbes qui résultent des mouvemens rclatifc de ces points, en supposant qu’on rapporte ces mouvemens a des axes passant par un point détanniné de la surfece mobile .S ou S’, et fixes par rapport à cette surface.

Soient A, A', A', A"'.., les positions successives du point A, qui correspondent aux positions B, B, B'... du point B; AB, A'B', A'B', A"’B"... les

3;i . TRAITÉ

droites qui joignent les positions simiiltane'es des points mohiles A et R. Ayant mené par le point B de la surface S' les trois axes rectangulaires .r,^, Z, respectivement parallèles aux axes fixes OX, OY, OZ, supposons que ces axes, fixés à la surface S', se transportent successivement avec elle en x\y,x, passant par le point B'; en tc’,y,z', passant par le point B"; en x",y", z"'... une droite quelconque, telle que A'B', qui joint deux positions correspondantes des points A et B, fait, avec le système d'axes x’,y', z', passant par le poiut B", des angles qui déterminent la position du poi^t A' par rapport à ces axes. Donc, si l’on trouve un point D' situé par rapport aux axes x,jr, z, comme le point A' est situé par rapport aux axes x',y, z’, le point D' sei'a la position du point A relative atix axes x,y, z de la surface S , considérés comme fixes , c’est-A-dire que, lorsque le point B sera en B , et le point A en A', le point D* sera placé par rapport aux axes I, y, z, fixes V point B, de la même manière que le point A’ est situé par rapport A çcs mêmes axes trans|K>rtés en x',y, z".

On trouvera, de la meme manière, une suite de points D'", D"... correspondans aux positions A'", A"... du point A , et la courbe DDTV..., qui passe par ces points, détennine le mouvement du point A relatif aux axes .r,jr, z de la surface S'. On rapporterait de la même manière la courbe décrite par un point B de la surface S', A des axes déterminés de la surface mobile $, considérés comme des droites fixes par rapport A cette surface.

Exemple de mouvement relatif. .

57. Deux cercles des rayons EA, AF (fig. 3, pL 3), situés dans le même plan , se touchent; ils tournent autour des deux axes fixes, passant par leurs centres E et F; le point de contact A, considéré comme appartenant au premier cercle, décrit l’arc AB"; considéré comme appartenant au second cercle, il décrit, dans le même temps, un arc AA' de même longueur que l’arc AB’; ces deux conditions déterminent les deux mouvemens absolus du point A. On demande le mouvement relatif de ce point A sur le plan du premier cercle dont le centre est en E, en prenant pour axe fixe le rayon EA de ce cercle.

droite A'B’ fait avec le. rayon EB' un angle A'B'e; donc, si l’on mène par le point .A une droite AD'=ATT, faisant avec le rayon AF un angle D'AF= A'B>, le point D’ sera un point de la courbe demandée; mais ayant pris<A^"=AB*, si l’on transporte le rayon AF sur le rayon b'/, et si l’on décrit du point /comme centre, le cercle b'D’, sur lequel on prend

un arc b'ÏŸ de même longueur que I’otc kb\ le point D", extrémité de cet arc, ne différera pas du point: D* extrémité de la droite An’^rA-B', et il appartiendra à l’épicycloïde décrite par le point A du cercle mobile A'A, qui roule sur le cercle fixe du rayon AE. En effet, ôn a, par la comparaison des deux triangles A A" B", AA D% AB'= AA', AA'= A’D', et les angles B’AA', AA'D" sont égaux^ donc les deux triangles sont égWux, et on a AD'=A'B'. D’où il suit que la courbe que le point A décrit d’un mouvement relatif sur le plan du cercle du rayon EA, est une épicycloïde. •

On prouverait, de la même manière, que, lorsque le cercle du rayon AF roule sur le cercle du rayon EA, les mouvemens relatifs des points k et ' k\ placés sur ce dernier rayon, l’un au-delà dû point A, et l’autre en deçà, donnent lieu àdesépicycloïdcsralongées et raccourcies. Quand deux cercles qui se touchent, tournent autour de leurs lignes des pôles comme axes, un point quelconque de l’un des plans mobiles qui contiennent ces cercles, décrit d’un mouvement relatif sur l’autre plan, des épicycloides ordinaires, ou ralongées ou raccourcies.

Du creux, ou de l'iffteivade qui sépara deux dents consécutives d'tme • , roue cylindrique.

58. Soient les deux roues cylindriques des rayons primitifs AC, CB (fig. i , pl. 3), pour lesquelles on a déterminé la forme des dents et la grandeur des flancs. Le creux ou l'intervalle qui sépare deux dents consécutives de la petite roue , est terminé par la courbe que l’extrémité M de la dent CM de la grande roue, décrit sur le plan du cercle du rayon primitif AC de la petite roue. Or, lorsque les deux ràyons AC, CB tournent autour des centres A et B, on sait par l'article précédent, <|ue le point C du rayon BC a sur le plan dans lequel le rayon AC tourne, un mouvement relatif tel que ce point décrit une épicycloïde ordinaire, pendant que le point M, fixé au rayon BC, décrit par le même mouvement relatif une épicycloïde ralongée; ce qu’on démontre en rapportant toutes les positions relatives du point C à l’égard du rayon mobile AC, et en supposant ce dernier rayon immobile; a* que tous les points tels que M, z,.... d'une circonférence qui a son centre au point B, décrivent, par le mouvement relatif, la même épicycloïde ralongée que l'un quelconque de ces points , ÎM par exemple. ,

Soit zmq (fig. r, pl. 3) l’épic3îcloide,ralongée, décrite par le point z du , rayon BC, sur le plan dans lequel se meut le rayon AC; ayant décrit du

point A comme centre , avec AM pour rayon , l’arc de cercle Mm , on rapportera la droite A2 en AZ, en faisant l'angle AIAZ=wAz. Transportant la branche de courbe qmz en QZ et en ZMX, QZX sera la courbe décrite par le point M de la grande roue sur le plan du cercle primitif de la petite roue, cette courbe étant rapportée à la droite AZ de ce plan , considérée comme un axe fixe de coordonnées.

I.C point Z de l’épicycloïde ralongée MZQ est, de tous les points de cette courbe, le plus rapproché du centre A; on peut le considérer comme un sommet. Pour constniirc directement ce sommet, menons le rayon MNB qui coupe la circonférence du rayon BC au point N, et développons l'arc CN de cette circonférence de C en n sur le cercle du rayon AC. Ayant porté la droite MN de /» en Z sur le rayon An, le point Z est le sommet de la courbe MZQ. Ciette courbe a pour normale au point M la droite CM.

A l'épicycloïde ralongée MZQ, décrite par le point M du rayon BXM, correspond une épicycloide ordinaire N/w’, qui est décrite par le point N du même rayon , et dont la naissance sur le cercle du rayon AC est le poiyt n distant du point C d'un arc nC égal à l'arc NC du rayon BC.

5g. courbe CM qui terminera dent de la grande roue, tourne autour du centre A , et prend la position P'P, telle que l’arc CP' du rayon BC est égal à l’arc CP du diamètre AC; alors elle a pour tangente (art. ao) le rayon .APC', et pour normale la droite CP ; cette droite est aussi normale à la courbe Pm'Z'/a qui termine le creux adjacent au flanc C P. En effet, ayant mené le rayon Pj-^B, la droite BP est égale au rayon B>', augmenté du ralongement P>-'=/iZ de l’épicylcoïde lalongée MZQ; cette droite BP, et les deux autres droites AP, ACB forment un triangle analogue au triangle Kma (fig. a, pl. a); or, on a vu (art. 19 et ao) que pour ce dernier triangle la droite Bm est une normale à l’épicycloïde ralongée nmv; donc la droite CP (fig. I, pl. 3), analogue à la droite hm (fig. a, pl. a), est normale à-l'épicycloîde ralongée PZ'/x, au point P; elle est aussi normale à l'épicycloïde ordinaire PP'; donc ces deux cpicycloïdes sont tangentes l’une à l’autre : d’où il suit que pour un creux quelconque QZMX, qui sépare deux dents consécutives de la petite roue du rajron primitif AC, les rayons AQ, .AX menés par les points Q, X rfu contour du creux, situés sur la circonférence PQX , sont tangens à ce contour aux mêmes points.

L’épicycloïde ordinaire yyy<, qui correspond à l’épicycloïde ralongée PZfi, coupe le cercle du rayon AC au point y , tel que lare Oy est égal à l’arc G>-, et le rayon Ky passe par le sommet T de l’épicycloïde ralongée.

60. Il peut arriver que les deux roues qui tournent, l’une autour du centre A, et l’autre autour du centre B, ^ient intérieures l’une à l’autre, en sorte que leurs rayons primitils soient ( fig. i, pl. 4) AC, BC. On déterminera la dent et le flanc de la petite roue, d’après ce qui a été dit (art 48-55), et on trouvera pour le contour d’une demi-dent, la courbe MC (^ponctuée ), et pour le flanc, la droite CQ. I^ demi-dent de la graifde roue sera terminée par la courbe CwM ou DG, et le flanc de cette même dent sera la droite CR' ou Dr dont la direction coïncide avec celle du premier flanc [CQ. De ce que cette droite CR' et la courbe 0«M sont situées du même côté, il suit que si la grande roue porte des dents, elle n’aura pas de flanc, et réciproquement , si on exécute les flancs, elle n’aura pas de dents. Quelle que soit la roue qui porte les dents, il faudra que sur l’autre roue conduite par les flancs, le creux ou l’intervalle qui sépare deux flancs consécutifs, soit d’une forme telle que la dent qui presse l’un de ^ ces flano* puisse s’y loger tout entière. Iæ creux de la petite roue sera terminé comme dans la fig. i, pl. 3, par une épicjdoïde ralongée QZMX, qu’on trace d’après la métbotle exposée art. 58. On ne pourrait pas faire usage du creux de la grande roue , tracé d’après la même méthode ; car l’épicycloide ralongée, décrite par le point M', étant R'M'R*, on voit que la dent CM'C de la petite roue ne pourrait pas s’y loger; le creux de la grande roue s’étendrait au-delà de cette courbe. Pour éluder cette difficulté, on place les dents sur la plus grande roue qui est extérieure, les flancs et les creux surela roue intérieure, et on fait conduire la seconde de ces roues par la première.

De l'enprenage d’une roue et d'une Lmlcrne à fuseaux cylindriques.

( Pl. 4 . fig. 2 et 3. )

61. La roue et la lanterne tournent autour de deux axes parallèles; un plan , mené par le centre de la roue perpendiculairement aux axes, coupe ces axes aux point A et B. Sachant combien la roue et la lanterne font de . révolutions dans le même temps, on divise la droite AB ( fig. a ) en deux parties AC, CB proportionnelles aux nombres de tours simultanés, ou à leurs vitesses angulaires; ces droites AC, CB sont les rayons des cercles primitiGi de la lanterne et de la roue. Le nombre de fuseaux de la lanterne étant donnée ou divise le cercle primitif de la lanterne én autant de parties

qu’il y a de fuseaux, et ces points de divisions G, D',E', F sont les

projections des axes des fuseaux. * •

On i)ivi»e de môme le cercle primitif de la roüe eii'Mccs'Cn, DE;jp . . . égaux entre eux, et de même li^gueur que les arcs. c5?>e-. . . .

Toutes les dents sont de même épaisseur; on mesure éelte épaisseur par un arc de cercle primitif de la roue dentée. L’intervalle qui sépare deux dents est terminé par un demi-cylindre droit à hase circulaire; le rayon deic'c cylindre est un peu plus grand que celifWes iiiseaux cylindriques de , In lanterne. On suppose d’abord que ces fuseaux sans épaisseur sont réduits aux droites C, D’, E'. . .

Dans cette hypothèse, l’épaisseur de la dent est un arc CD contenu un nombre entier de fois dans la circonférence du rayon BC. PoAr déterminer le contour d’une dent de la roue, on fait tourner le cercle du rayon AC sur le cercle du rayon Cli. Dans ce mouvement, le point C décrit une * épicycloîde CM, dont la longueur est déterminée par le rayon MNB, qui passe par le point N milieu de Tare CD. De tous les points de cette courbe comme centres, avec un rayon dont la lobgueur surpasse un peu le rayon ^ des fuseaux, on décrit une suite d'arcs de cercles; la courbe cm , qui touche tous ces arcs, forme le contour d’une demi-dent de la roue. Construisant cette même l^urbe de m en d, et décrivant les points C et D comme centres, avec un rayon égal à la droite qui mesure la distance des courbes équidistantes CM, cm, les cercles ePe, dQd', ou aura la dent entière dmc, et les deux creux adjacens ePe', tAid',

. üa. 11 est bon de remarquer que les points c et rf des courbes an, dm, ne sont pas sur la circonférence du rayon RC ou RD, mais sur IcMangentes à cette circonférence menées par les points C et D; en sorte que les nais- •sances des dents, dans Thypotbèse où les fuseaux cylindriques ont une épaisseur, sont situées sur un cercle qui a pour-centre le point R, et pour rayon-la-droitc hd ou Bc, hypothénuse d’un triangle rectangle qui a pour côtés adjacens à Tangle droit, les rayons Ce, BC Tun du fuseau et l’autre du cercle primitif de la roue.

I,a normale au point m du contour de la dent coupe Tépicycloide CM au point m'; décrivant du point R comme centre. Tare m'm' qui coupe le cercle du rayon AC au point /«', ce point détermine la position de Taxe du . fuseau , au moment où ce fuseau cesse d’être conduit par la portion de la dent cmd, fixée au cercle primitif de la roue.

La figure 3 se rapporte à l’engrenage intérieur. La distance CD des axes de deux fuseaux consécutifc est, pour Tun et pour l’autre engrenage (fig. a et 3), égale aux épaisseurs cd d’une dent et de deux demi-creux Ce', Dd. Les fuseaux sont fixés sur deux plateaux parallèles, qu’on nomme tourtes ou

DES MAaiINES.

tourl6aux*hci plans de ces tourtes sont perpendiculaires au* axes des fuseaux. *

Toutes les parties qui composent tant l’engrenage extérieur que l’intérieur, sont représentées en plan et profil, fig. 4 et 5 pour l’engrenage extérieur, et fig. 6 et 7 pour l’engrenage intérieur.

63. Les dents d’une roue cylindrique prennent le nom de cames lorsque cette roue conduit le manche d’un pilon ou d’un marteau, et imprime à ce manche un mouvement rectiligne ou un mouvement circulaire alternatif.

La figure i (a), pl. 5, représente un pilon et son manche ; le pilon CDEF et son manche AUGII sont réunis par deux pièces jumelles (P) et (Q), qui laissent entre elles un espace vide .ABCD. Étant donné un pilon de celte ^rme, il s’agit de lut imprimer un mouvement rectiligne dans le sens de ta droite RS, en le faisant glisser sur les faces verticales des pièces de bois horizontales LM, L'M'. Soient (fig. i , pl. 5) ce même pilon et son manche vus de profil;un arhre aiede/ porte les A , Ü,C,D,E, F. Lorsqu’il tourne, chacune de ces cames s’engage successivement dans l’intervalle .ABCD (fig. I a) du manche du pilon, et le soulève en pressant la face horizontale AB de la face inférieure du manche ABGII. Ctiaque came est un solide terminé par une surface cylindrique , qui a pour base la ligne C^g- • )• RS étant, la projection de la ligne milieu du manche du pilon, et T le centre de l’axe de rotation de Varhre aboie/, on abaisse du point T une perpendiculaire T/ sur RS. On.décrit de ce même point T, comme centre, un cercle du rayon Tl; enfin on développe une portion de ce cercle, ce qui s’exécute en déroulant une corde ou un fil afi applique sur la circonférence «fiy, et 1 extrémité a de cette corde décrit la portion de développée '

Chaque came, telle que A, est terminée par une courbe vx égale à la portion de développante «^4,, dont la grandeur dépend de la hauteur à laquelle on doit élever le pilon. Pour, la hauteur tx dont le pilon est soulevé, on développe lare de cercle lt> égal ^ longueur à lu droite, Zr; la courbe vx est la seule partie du contour tw îa came, dont la forme soit déterminée. Le cercle décrit du point T, comme centre, avec Ta: pour rayon, coiqve la développante indéfinie aHf au point f , et la portion «q»

Des càmes et pilons. ( Pl. 5, chap. II, et pl. i , chap. I", cases 5*B et 7*C • I du Tableau des Machines élémentaires. )

est la développante de l’arc de cercle aS égal en ongiieur à l’arc ti'.

64. Connaissant, par expérience, l'épaisscui^ qu’il convient de donner., à la came, on la termine par une- droite , qui concourt au point T, cl oh raccorde la courbe t'X et cette droite par une courbe quelconque rj', qui soulève encore le pilon d’une petite hauteur, avant que la came soit dégagée du manche du pilon ; alors le pilon tombe par son propre poid,<'. Lorsqu’il est arrivé au point le plus bas de sa course, il est important que la came suivante F, déjà engagée dans l’espace vide ABCD ( fig. i a ) , se trouve près de l’extrémité de la pièce de bois ABGH, afin d’éviter le choc de la came contre cette pièce de bois, u' ( fig. 1 ) est la longueur de l’arc parcouru par le point t' autour du point T, tandis que le pilon descend de toute la hauteur verticale dont il a été élevé par la came A.

Il suit de ce qui a été dit ( art. 40), que les hauteur^ dont le point t de •la ligne milieu du pilon, s’élèvera sur la verticale tr, seront de même longueur que les arcs décrits par le même point l autour do' ioentre de rotation T, et que l'arétc de contact de la came et de la face AB (fig. i a) du manche du pilon sera constamment perpendiculaire à la 'droite fx (fig. i).

De V engrenage d'une roue et d’une crémaidere .comprises entre deux plans parallèles. (Pl. 5, fig. a, et pl. i , chap. 1", case 3 B du Tableau des Machines élémentaires. )

63. La roue tourne autour d’un axe passant par son oentre A ; un plan perpendiculaire à cet axe contient le cercle du rayon primitif AC de la roue; la droite TCED', qui se meut en même temps que la crémaillère dont elle est la ligne milieu, touche constamment le cercle du rayon AC aa point C, en sorte que la vitesse absolue du point C est la même, soit qu’on regarde ce point comme appartenant â la roue, ou comme fixé à la crémaillère. Cette droite TCE’D' pouvant être considérée comme un cercle d’une roue dont le rayon primitif est infini , l’engrepage d’une roue et d’une crémaillère est un cas particulier du cas plus général où les deux roues ont des rayons primitifs de dimensions finies.

66.. Faisant tourner le cercle .\fC dodiamètre AC sur la droite TCED’, le point C du cercle engendre, non pas une épicycloïde , ‘comme dans le cas général des deux roues, mais une cycloïde O/iM. On prend, pour la demi-épaisseur d’une dent de la crémaillère, une droite CN, contenue un nombre entier de fois dans le cercle du rayon -\C ; une perpendicu-

DES MAanNES. 379

lairc NM â la droite CT détermine la grandeur de l'arc CM de la cycloïde. La j>erpei)dictilaire Mj au rayon AC rencontre la circonférence du diamètre AC au 'point s; faisant AQ = As, CQ est la grandeur du flanc de la rôtie qui correspond à l'arc de 'cycloïde CM. Le creux de la dent de cette loue est terminé par la courbe MZRQ, que le point M de la crémaillère décrit d’un mouvement relatif sur le plan du cercle dont le rayon est AC. On suit , pour construire cette courbe, la méthode qiii' a été décrite (art. 58). On prend l'arc CN' du rayon AC, égal en longueur à la droite CN , épaisseur d'une demi-<lcnt de.,la crémaillère, et l'on tire le rayon -AZN'. Les deux arcs N Y et CN' étant égaux, on mène le rayon A Y, et QRZX est le creux de la dent de la roue; CQ, XY sont les flancs des deux dents adjacentes à ce creux. Cette figure CQRZMXY a été transportée en nVGEE.

Pour construire la dent de la roue dans l'bypotlièse où cette roue conduit la crémaillère, on considérera la ligne milieu D T de la crémaillère, comme l'axe du pilon RS dans la figure précédente 1 , pl. 4- La courbe De/ (fig. a,pl. 5), développante du cercle du rayon AC, conduira la crémaillère de la même manière que la came vx ( fig. i , pl. 4 ) conduit le pilon. Le point ci (fig. a, pl, 5) est l'intcrscctiun de la développante Dt4 et d'un rayon A/c/, tel que l’arc D/ est de même longueur que la droite CN.

67. I.a crémaillère qui conduit la roue, porte des dents, et deux dents consécutives sont séparées par un creux ; mais elle n’a point de flancs, ou autrement le flanc se réduit à une ligne droite, comme on l'a déjà vu à l'article ü4 des cames et pilons. On aura donc tout ce qui est relatif à l’engrenage d'une crémaillère et d'une roue, lorsqu’on connaîtra la forme du creux qui sépare deux dents consécutives tie la crémaillère; ce creux est terminé par deux branches de courbes égales à E IL ou CR'Z’. Cette branche de courbe est égale à celle qui est décrite d’un mouvement relatif par 1 extrémité M' de la dent de là roue sur la crémaillère. On constniit cette courbe d’après ce qui a été dit (art. 58), et il suit de l’art. 5g, que le rayon AC touche à la fois la cycloïde CmM, et la cycloïde ralongée CR Z'.

Eugrenage d'une roue à dents coniques, et d’une lanterne à fuseaux coniques. ( 1*1. "G, cliap. 11, et pl. I , chap. I", case CE du Tableau des

Machines élémentaires. ) ,

Cfl. Soient ( pl. 6, fig. i ) AC, A C les axes de rotation de la roue et de la lanterne, et leMnènies axes rapportés sur la fig. 5, qui montre sur une petite échelle l'engrenage en fonte de fer, composé d’une roue d’angle et d une lanterne conique; les deux axes se coupent au point C, et font entre eux l’angle ACA'. Connaissant le nombre de révolutions que la roue et la lanterne doivent faire flans le même temps, on divise l'angle ACA' (fig. i et 5) en deux autres angles ACB , RCA' par une droite CB , telle que si , d un point quelconque B (fig. i), on abaisse des perpendiculaires BA, BA’ sur les axes de rotation, ces perpendiculaires, qu’on peut regarder comme les rayons primitifs de la roue et de la lanterne, soient entre elles dans le rapport des nombres qui expriment combien la roue et la lanterne font de révolutions entières dans le même temps. On divise les circonférences de rayons primitife BA, BA'(fig. i), en arcs qui, étant développés , soient de même longueur; l’une de ces divisions sur le cercle du r.iyon B.A mesure les épaisseurs d’une dent et du creux qui sépare cette dent de la suivante; l’autre division sur le cercle du rayon BA' mesure (art. 6i ) la distance des axes de deux fiiswiux consécutife de la lanterne; chacun de ces fuseaux est un cône droit, qui a pour axe une arête d’un autre cône droit, dont le sommet est en C, et qui a pour base le cercle du rayon primitif . BA' de la lanterne. Le plan de ce cercle coupe la surface de chacun des fuseaux suivant une ellipse. *

11 suit de cette construction que le nombre de fuseaux sur la lanterne, et le nombre de dents coniques sur la roue , sont dans le rapport tics rayons primitifs de la lanterne et de la roue.

sfig. Fais-ant tourner le cercle du rayon A'B (fig. i ) sur Ic ceixHc du rayon AB, de manière que le point B décrive une épicycloi'dc sphérique ( art. a5 ) , et regardant cette éjiicydoïde comme le base d’une surface conique, qui a son sommet au point C, intersection des deux axes AC, A’C, une dent de la roue terminée par cette surface, conduira la lanterne par l’axe CB de l’un îles fuseaiw, comme il a été dit ( art. 38 ); mais le fuseau ne se réduit point à son axe : chaque fuseau étant un cône droit, dont le sommet est au point C, on demande que la dent qui conduit co fuseau soit terminée par une surface conique, telle que deux points des

circonférences dcsrajons primitifs BA, BA' décrivent dans le même temps, comme dans le cas du fuseau réduit à son axe, des arcs de même longueur; cette condition détermine le cône épicycloidal et la forme de la dent de la roue. En effet, la surface conique qui a son sommet au point C, et dont la base est l’épicycloïde sphérique décrite par le point B, ferait tourner la lanterne, en poussant les fuseaux de cette lanterne, qu’on suppose r^its à leurs axes. Par l’un de ces axes, qui coïncide avec une arête du cône épicycloidal, menons un plan normal à ce cône, et construisons, dans ce plan normal, l'arête du fuseau conique; cette arête passera par le'somm^du cône épicycloidal , puisque ce cône et le cône droit du fuseau ont m^e sommet. L’axe du fuseau étant mobile avec le cône épicycloidal dont cet axe est une arête, chaque plan normal à ce cône contient imè arete du cône droit qui forme le fuseau ; donc cette arête est la génératrice dun troisième cône, fixé invariablement au cône épicycloidal, et qui tournant avec ce dernier cône, est tangeçtau fuseau conique dans toutes ses positions. I.a surface de ce troisième cône est l’enveloppe de l’espace que parcourt le cône droit du fuseau, dont l’axe se meut sur un cine i base épicycloide : l’enveloppe et l’enveloppée ont même plan normal, suivant l’tarête qui leur est commune, et' ce plan passe par l’axe de l’enveloppe, qui est l’axe du fuseau conique; l’enveloppée est la surface de la dent qui conduit le fuseau.

70. Laxe de rotation AC (fig. i) éunl vertical, il se projette sur le plan, horizontal (fig a) au point ü. Soit DE (pl. 6, fig. a) la projection Lorizonale de I e,>,cycloide sphérique décrite par le point B (fig. et OE (fig. a^ la projection d’une arête du cône épicycloidal. Considérant cette arête comme I axe de l’un des fuseaux coniques, on mène par cet axe un plan normal au cône épicycloidal, qui coii’pe la surface conique du fu.seau suivant une droite; la perpendiculaire à l’axe du fuseau, mené dans Je plan no^al ,,ar le point de l’épicycloide qui se projette en E (fig. a\ rencemtre d^ite de la surface conique du fuseau, en un point qui se projette en E ( fig. a ). lai suite des points construits de la même maniéré appartient à une nouvelle courbe, dont la projection est DE'; le côné qui aura son sommet au point C (fig. i), et pour base cette nouvelle

7 1 . On termine la couronne de la roue par des surfaces coniques droites qui ^t pour axe la droite AC (fig. ,), et pour arêtes les droites KBL, K L'.’ Ces droites sont ordinairement perpendiculaires à l’axe de rotation A C, en

38a * TRAITÉ

sorte que la couronne dentée a pour surfaces extérieures, le plan xL, le cône droit engendré par KL, et pour surfaces intérieures, le plan x'L’ parallèle au plan >,L, et le cône droit engendré par K L’, parallèle à KL. Les <listances des parallèles KL, K L’ et des horizontales xL, x’L’ déterminent, lune la longueur d’une dent de la roue, l’autre l’épaisseur du fond horizontal de la couronne. Quant à la longueur des fuseaux, elle dépend de la distance entre les deux plateaux dans lesquels ils s’assemblent. Les bords de ces plateaux .sont terminés par une surface conique droite, qui a pour axe la droite CA 'ç, et pour génératrice la droite F4, dirigée vers le point C. Le plateau inférieur est compris entre deux plans F<f, 4^ perpendiculaires à l’axe de rotation CA'$; la distance de ces plans mesure l’épaisseur dn jdalcau. Pour que ce plateau puisse tourner hors de la roue, il suffit que la droite ^rr soit à quelque distance de la droite LK, arête du cône droit qui termine extérieurement la roue. Quant au plateau supérieur, il doit être tout entier au-dessus du plan horizontal H'K’ qui termine la roue. Supp>osons ce plan déterminé; la sphère qui a son centre au point C, et qui ]>asse par le cercle du rayon 11 K’, CQupe le cône droit, qui a pour génératrice la droite CL' et pour axe la droite CA', suivant le cercle gA; d'où il suit qu'un cercle très-voisin, dont le rayon est g'h',ei qui appartient au même cône, ne sera pas. coupé par le plan H’K', et qu’on pourra prendre ce cercle g h’ pour la base du plateau supérieur.

Les surfaces coniques droites, qui terminent la couronne de la roue, sont coupées par le cône dont le sommet est au )K>int C, et qui a jiour base la courbe don lD E’(fig. a) est la projection, suivant deux courbes, et ces deux courbes ont pour projections les lignes ü ME'’, citn (fig. a). Les cercles décrits du point O, comme centre, avec les rayons HK, U K’ (fig. i), déterminent les portions DM et eltn (fig. a)' de ces courbes, qui forment le contour d'une demi-dent. Chaque fuseau devant se placer dans le creux qui sépare deux dents consécutives, le contour de ce creux est formé de deux courbes no,pq (fig. a), intersection du cône droit qui termine le fuseau, et des deux surfaces coniques extérieure et intérieure de la roue. Afin que les dents ne se terminent pas en pointe, on réunit les deux surfaces épicycloïdes 'de chaque dent par une portion de surface conique droite MM'/w/n' (fig. a), dont le sommet est en -C (fig. i), et qui a pour ba« le cercle HK (fig. i) dont la projection (fig. a) est mj^erclc décrit du point O, comme centre, avec OM=:HK pour rayon.

Pour tracer les contours des dents sur les cônes extérieur et intérieur

de la roue, on développe ces cônes, et l’on construit , d’apr^ ce développe-

ment, deux panneaux (fig. 4)» qu’on applique sur les faces extérieures de la roue.

La fig. 5, composée de deux plans et d’une élévation , représente la roue entière, et la lanterne avec ses fuseaux. Les droites CA, CA' sont, comme dans la fig. i, les aj^es de rotation de la roue et de la lanterne.

De l’engrenage de deux ivucs d’angle, à dents coniques. (PL 7, chap. II.)

Machine cicmentaire, pl. j, chap. I"^, case 6E du Taldcait.

7a. Soient (fig. i, pl. 7) AC, A'C les axes de rotation des deux roues, qui font entre eux l’angle ACA'; on divise cet angle en deux autres ACH, nC.\' par une droite CB, telle que si , d’un point quelconque R, on abaisse des pcrpcndiciüaires B.\, BA' sur les côtés de cet angle, ces perpendiculaires, qu’on peut regarder comme les rayons primitifs des deux roues, soient entre elles dans le rapport des nombres qui expriment combien les deux roues font de révolutions entières dans le même temps. On divise la circonférence des rayons primitifs BA , BA' en arcs qui, étant développés, soient de même longueur; chacune de ces divisions mesure l’épaisseur d’une dent, et la grandeur du creux qui sépare une dent de la suivante; il suit de cette construction que les nombres de dents, dans l’une et l’autre roue, sont dans le rapport des rayons primitifs de ces roues.

7.3. Ayant décrit sur BX.V (fig. i), comme diamètre, un cercle projeté (fig- 3), parallèlement à lui-même et couché en BGA', on fait tourner ce cercle sur la circonférence du rayop AB fig. i , de manière qu’un de ses |K>ints décrive une épicycloîde sphérique, tracée sur la sphère du rayon BY, dont le centre Y est à l’intersection de l’axe de rotation .\C, et de la parallèle à l’axe de rotation A’C, menée par le point X, milieu de la droite .4,'B. De même sur AxB(fig. 1), comme diamètre, on décrit un cercle, et on le fait tourner sur la circonférence du rayon BXA'(ûg. 3), de manière qu’un de ses points décrive une épicycloîde sphérique, tracée sur la sphère du rayon B y, dont le centre est à l’intersection de l’axe de rotation A'C, et de la parallèle ry à l’axe de rotation AC, mené par le point x, milieu de la droite AB.

La première épicycloîde e.st la base du cône qui doit conduire la seconde roue par son flanc , ainsi qu’il a été dit (art et de même la seconde

épicycloîde est la base du cône qui doit conduire la première roue par son flanc; ces deux cônes à bases d’épicyêloîdes ont pour sommet commun le

384 TRAITL'

point C. Nous allons construire tout ce qui est relatif à une première roue, c’est-à-dire, le plein d’une dent, les flancs adjaceiis à cette dent, et le creux qui sépare une dent de la suivante.

74- I-a roue que nous considérons a |x>ur axe de rotation la droite AC (fig. t , pl. 7); elle est terminée extérieurement et intérieurement par deux troncs de cônes droits qui ont pour axe commun la'mème droite AC, et pour génératrices, l’un la droite LK, l’autre la droite L'K.'. Les bases inférieures de ces troncs de cônes sont deux cercles parallèles, le premier du rayon ÂL, le second du rayon ).’L', dont les centres \ et X' sont sur l’axe AC. T.a distance entre ces deux cercles est égale à l’épaisseur des pièces de bois qui forme la couronne, ou Venraj^re do la roue.

7.*i. I..a grandeur de la portion du cône épicycloidal qui forme le plein d'une demi-dent de la roue, est déterminée par les dimensions des cônes droits qui coiffprennent la couronne de cette roue. Ayant projeté l’épirycloide sphérique qui sert de base à la surface conique de la dent, sur un plan perpendiculaire à l’axe AC (fig. i), soit DE (fig. a, pl. 6) cette projection , et DME' (fig. a) la projection sur le même plan, de l’intersection du cône épicycloidal et du cône droit extérieur qui a pour génératrice la droite LK (fig. 1). Ix: cercle XMM’(fig. a), décrit du point O avec un rayon 0^=HK (fig. i), coupe la ligne DM (fig. a)*au point M. L’arc Dno étant l’épaisseur d’une dent et du creux qui la sépare de la suivante , on partage cet arc en deux parties Dn, no, telle que la dernière no soit d’environ ;; plus grande que la première; on partage encore l’arc Dn en deux parties égales D», an, Pt on tire le rayon Ow»’ qui est la ligne milieu du plein d’une dent. Sur le cercle du rayon Oi, on prend l’arc M'»' égal à Ma'; j)ar cet arc Ma M' et le sommet du cône épicycloidal, on fait pàsser un cône droit. Le tronc de cône «Iroit qui forme l’intérieur de la couronne de la roue, se termine au cercle dont le rayon est 0^'=U'K' (fig. i). Ayant mené des points M , M (fig. a) au rentre 0,des rayons Mm, M’m’, ils interceptent sur le cercle du rayon 04' un arc mm'', ce qui donne pour la projection de la petite face conique qui réunit les denx faces épicycloîdales d’une dent, le contour MM'm/n'. Construisant la courbe Mn égale à la courbe DM, et les lignes dm,pm semblables aux lignes DM , nM’ et semblablement placées par rapport à la droite O»»’, on aura la projection totale du plein d’une dent de la première roue. Les dents étant tontes égales, les faces épicycloîdales de ces dents ont pour contours, des courbes égales à celles qui se projettent (fig. ai) en DM et M'n. Les points de ces courbes, tels que ceux qui se projettent en D et en M, sont situés sur deux cercles .des rayons OD,OM; nommant ces

Des maqüNes. , 385

points, ruUUtmcef et eMrémités des dents, les cercles qui contiennent* ces points^ sont l’un le cercle^des naissances, l'autre le cercle tifs exUvniUés des dénis.

On construira de la même manière la projection (lig. 3) d’une dent de la seconde roue sur’ un plan perpendiculaire à son'nxe; mais, d’après l’art. 43, les dimensions de cette dent déterminent celles du flanc de la première roue; donc pour construire ce flanc, il faut connaitre le cercle MM' (fig. 3) des extrémités des dents de la seconde roue.

76. Le cercle BnD (fig. 3), du rayon A'«* égal au rayon A'B de la fig, i , contient les naissances des dents de la seconde roue. Supposons que le rayon A’»' du cercle qui contient les extrémités de ces memes dents soit connu; les cercles des rayons A’», AV (fig. 3) peuvent être considérés comme lés bases de deux cônes droits qui ont pour axe commun l’axe de rotation de la 'seconde roue , et pour sommet commun le |Mnnt de rencontre des deux axes de rotation. Les extrémités et les naissa;ice$ des dents de l!^ première roue sont de même sur deux cercles MM', Dn (fig. aj qu’on peut aussi considérer comme les bases de deux cônes droits, qui ont pour axe commun- l’axe de rotation de la première roue, et pour sommet le point, de rencontre des deux axes de rotation. Les arêtes de ces cônes droits, . contenues dans le plan qui passe par leur axe commun, font entre elles un angle qu’bn prend pour la mesure de la saillie de la dent; le rapport des saillies données des dents des deux roues, détermine le cercle MM' (fig. 3), qui contient les. extrémités des dents de la seconde roue; nous supposerons que ces saillies soient égaies, et on va voir comment, dans cette hypothèse, on construit le rayon A'»' (fig. 3) du cercle MM'.

77. La droite qui joint le point B (fig. a) et le point d’intersection des deux axes de rotation, se projette parallèleiueut à elle-même en BC (fig. ij; ramenant par un arc de cercle MX (fig. a) décrit du point O comme centre, avec OM pour rayon , le point M en X', et élevant la perpendiculaire XK. à la droite OD, l’angle des deux droites BC, KKC (fig. 1) est la mesure de la Saillie de la dent de la première roue, puisque ces deux droites sont dans un plan passant par l’axe de rotation AC (fig. t), et qu’elles appartiennent aux deux cônes droits qui ont pour bases les cercles T>n , MM' (fig. a). Les saillies des dents des deux roues étant supposées égales, on mènera. une droite CQP, faisant avec la droite CB un angle BCP égalàBCK, et on prendra cet angle pour la mesure de la saillie de la dent de la seconde roue. Cette seconde roue est, de même que la première, terminée extérieurement et intérieurement par deux troncs de cônes ^droits, dont

fa section par le plan (fig. i) des deux axes de rdtation est edinposée de deux parties (égales à celle qui a pour contour la figure' PIWipir'Q. Cette figure, en tournant autour de l’axe de rotation A'C, engendre les surfaces qui terminent l’enrayure de la seconde roue, avant qu’on ait taillé les dents de cette roue; l’angle des parallèles PBw, Q^' avec l’axe «le rotation A'C est arbitraire.

La droite CQP (*) (fig. i) coupe la droite »BP au point P, d’où abaissant la perpendiculaire PP' sur A’BP", on obtient (fig. 3) le rayon A’BP., ou AV du cercle MM', qui contient les extrémités des dents do la seconde roue.

78. Une face d’une dent de la seconde roue appartient au c6ne qui a pour base la portion de courbe (art. 76) dont la projection (fi^. 3) est MD. Soient ' r et > les milieux des droites parallèles AB (fig. i), OD (fig. a) : la droite yx (fig. a), perpendiculaire à ces parallèles, coupe l’axe de rotation A'C (fig. i) au point y, centre de lasphèredu rayon yB(fig. i)qui contient l’épicycloïdc, d’où se déduit la projection MD (fig. 3) de la courbe analogue à celle qui se projette (fig. a) en DME'; donc si du point^, comme centre, avec yB pow ravon , on- décrit (fig. i)-le grand cercle ia3, on aura toutes' les données li’après lesquelles on peut construire (art. et 43) la grandeur du flanc de la |)remière roue. Suivant çes articles, on décrira sury-D (fig. a ) com'me rayon, ou sur < )1) comme .diamètre, un cercle DG^'O fig. 3(f»«). Du point i (fig. i), intersection de la droite PQC et du grand cercle ai3, on abaissera snr l'axe A C la perpendiculaire 1 54 , qui coupeta la droite 'AB au point 5 , point qu’on ramènera en projection (fig. a) par la droite 56, perpendiculaire à OD; cette perpendiculaire 56 coupe le cercle du diamètre ODau point 6. On décrira du point O comme centre, avec 06 pour rayon, iin arc 67, qui coupe la droite OD au point 7. Elevant une perpendiculaire 78 (fig. 1) à OD, qui rencontre la droite AB au point 8, et menant la droiteUB, l’angle 8CB comprend le flanc de la première roue, et mesure ce qu’on a nommé (art. 76) la Saillie de ce flanc. Les côtés de cet angle coupent la droite LFBK aux points B et q, dont les projections (fig. a) sont D et 10; les cercles décrits du point O, comme centre, avec des rayons égaux à OD et à O. 10 ,

(*} Ofi voit Itg. t) deux droites contiguës marquées des mêmes lettres Pet Q, qui coocouretît vers le point C. On se sert de Tune ( fie celle qui fait U plus gra/td angle avec la droite pour déterminer la saillie des dents de In seconde roue, et de Tatitre, pour construire W creux de la premièro roue. En diminuant la saillie des dents, et augmentant les dimen- MOUS doserreux , lis c.xtrémités des dents sont moins sujettes h toucher la surface qui termine U»s creux.

DES machines. 387

cou|>eijt le rayon On aux ^ints n , « . Les côtés du même angle 8CB coujient la droite L/K' aux points 6 et g qui se projetletit ent/et (i oK%- Faisant

pp'=zd{io)', le flanc de la dent de la première roue se projette a) en nnpp'\ ce flanc, considéré" dans l’espace, a la former d’un trapèze dont les deux côté*s parallèles appartiennent aux cônes (extérieur et intéiéeur) de l’enra>oire de la roue, et les deux autres côtés concourent au point d'intersection des deux axes de rotation : oq déterminera de même la grandeur du flanc des dents de la seconde .roue.

79. Il ne s’agit plus maintenant que de déterminer la forme du creux qui sépare deux dents consécutives, et de n’enlever du solide dans lequel on doit crenser les dents de l’une des roues, que ce qui est .nécessaire pour le passage des dents de l’autre roue. Ixïrsque les deux roues tournent jmtour des axes CA, CA' (fig. 1), l’extrémité M ou-M (fig. 3) de la dent de la seconde roue, décrit autour de l’axe CA’ ( Gg# i ) un cercle du rayon A'M ou A'M' ( flg. 3 )■ En rapportant le mouvement du point M ou M (fig. 3) aux deux droites AC, AB ^fig. t) considérées comme des droites fixes, chacun de ces points décrit (art. a6)'une épicydoide sphérique ralongée. La cône' qui a .son sommet au point de rencontre G des deux axes CA; CA', çt quia pour Base l’épicycloïdc sphérique ralongée décrite d’un mouvement relnüf par le point M ou péuètre le solide sur lequel on a taillé les dents de la roue ; cette pénétration forme le creux tjui sépare deux dents consécutives. La grandeur du creux sur l’une des «>ues dépend évidemment de la longueur de la dent de l’autre roue. Ije contour d’un demi-creiu, pour la première roue, est en projection (fig. 2), composé de deux droites up , rq qui concoiTreut au point O, et de deux courbes riq, rp' qui résultent de l’intersection des cônes droits extérieur et intérieur de la roue et du cône à ba.se d’épicycloide ralongee. Ces deux courbes sont tangentes à la droite np (*); cette propriété est analogue à celle qui est l’objet de l’article 5q. *

{*)I.a démonstralion de celle propo*iUon m'a «té communi(|uée co 1810 par M. Gaultier (de Tours), ancien élevé de l'École polylechnique, cl professeur de gconiétrie dcscritiüvc au Conservatoire des arts et métiers j elle est fondée sur les considérations suivantes ; ,

Supposons' que le plan du flanc do la première roue qui passe par le rayon OD(Gg. a), et le plan du flanc de la ‘Cfondo roue qui passe par le rayon A'D ( ng. 3), soient réiinis dans un seul plan vertical OD (fig. à); alors le point I) de la fig. 3, le point B U fig. i, se confondent avec le point I) de la fig. a, et la dent de la seconde roue, terminée par une surface conique qui a pour base la courbe dont la peoj’cclion (fig. 3) est DM , louche le plan du flanc

388 1»AITÉ

^L’enrayure ou la charpente de Fune des roue* d’angle est toujours assez foi'te pour qu’on puisse faire le creux des dents plus grand qu’il rt’est nécessaire jwur le passage des dents de l'autre roue; ainsi dans la ])ratiquc on petit toujours se dispenser de la construction géométrique assez compliquée qui donne le creux minimiàn. Il n’en; est pas de même des formes ou des dimensions des dents et des flancs; il faut qu’elles soient tracées avec la plus grande exactitude, pour éviter les pertes énormes de force, qui résulteraient d’un faux engrenage.

8o. En considérant la dent de la seconde roue, lorsqu’elle touche le flanc de la première roue dans la position OD (fig. a), la droite qui passe par le point C (flg. i) et par l’extrémité de la dent, coupe les cônes extérieur et intérieur de la roue en deux points qui déterminent leç cercles des rayons O7, Or(fig. a ), sur lesquels sont placées les extrémités des lignes qui terminent le creux de deux dents consécutives. Lorsque- la seconde roue touche le flanc 06, la droite qui passe par le point C (fig. i) et par le point qui se projette en 6 (fig. a), en 5 (fig. i), coupe les côpes droits t'ronquésqui terminent l’extérieuret l’intérieur de la première roue, en deux points; les distances de ces points au premier axe de -rotation A C (fig. I ), sont (art. 76) les rayons On’, Op' (fif. a) des circonférences sur lesquelles sont placées les naissances des lignes teHes que n'q, p'r (fig. a), projections du coUtour des creux qui séparent deux dents consécutives. • ^

La courbe q t est égale à la ligne n'q; les creux correspondans à ces deux courbes sont reunis par une portion de surface conique droitc*qui a son sommet au point C ( fig. i ), et qui a pour base l’arc qq' du rayon Oq on Oq'. t • ' '

Les enrayurcs des deux roues étant terminées extérieurement et intérieurement ,par des surfaces coniques droites, on fait le développement

OD ( %. a) au point Ü, et le point M (Gg, 3) se loge dans le creux adjacent au flanc OD (fig. 3,. Lors(]iic la dent dé la seconde roue fait tourner la première roue dans le sens qui est indiqué par les fli-ches ;fig. a), clic conduit le Banc OO dans la position 06 (art. 78). Dans cet instant le point 5,(fig. i), 6 (Og. l), (arL 5g), appartient i la foUi l’épicycloidc sphérique ralongée qui sert de base à la surface conique du creux qui aépare deux dents consécutives de la première roue, et i répicycloidc sphérique qui sert de base à la surface conique de la drnt de U seconde roue; or( art, 3o et 3i ) ces deux cônes, dont le sommet commun est an point C ( fig. 1 >; oqt pour plan normal , suivant l’arête commune, correspondant où point (5,-6!, on plan qui passe par Je 'point (5,6), et parla droite qui unit les poinuD (fig. a> et C (fig. t); donc ils ont même plan tangent, et ce plan se projette alors en 06 (fig. i).

DES machines: . • 389

de ces surfaces, et on y trace les contours du creux et du jilein d’une dent. D’après ce développement (fig. 4> pl- ?)» H'** le .même pour toutes le.s dents, on donne au solide dont la forme première est unfe espèce de couronne, la ligure qui convient à l’engrenage de deux roues coniques ou roues d’angles {suit une explication relative à plusieurs figures tle lu planche 7).

8r. I.a fig. a {bis) est une partie dè la Cg. a, mise à part pour éviter la confusion des lignes. La droite OD (fig. a) et le triangle ACB (fig. i) sont transposés ( fig. a, ^)'cnOD, et en (VCD.. On a construit sur cette fig. (a A/j)la projection rt'y de Tépicycloïde ralougée, qui détermine (art. 79) le creux ou l’intervalle de deux dents. Cette projection est marquée (fig. a) des mêmes lettres ri, q.

La fig. 3 (fis) contient le cercle générateur de l’épicycloîde, qui sert de base à la face conique d’une dent de la première roue; le rayon de ce cercle

ba *

Blc (fig. i) =: — est transposé (fig. 3, 'bis) en Dx.

La fig. 5, composée d’un plan et d’une élévation, £iit voir l’assemblage de ces roues d’.angles; le modèle de cet engrenage a été exécuté en bois pour mon Cours des Machines à l’Ecole polytechnique, sur les dimensions du dessin , pl. 7, qu’on vient d’expliquer.

8a, Il y a d’autres espèces d’engrenages, qu’on emploie fréquemment, pr'mci paiement dans les échappemens de montres, dans les roues à rochet, etc., et dont la forme varie suivant l’application qu’on veut en faire. Lorsque les surfaces des denU ne sont pas susceptibles d’une définition exacte, la forme des engrenages n’est pas du ressort de la géométrie descriptive.

83. Les roues d’angles ont évidemment pour objet de transformer un mouvement circulaire en un autre mouvement circulaire, lorsque les axes de rotation se rencontrent; s’ils ne se rencontrent pas, on les unirait par une troisième droite quelconque ou par une perpendiculaire hux deux , et cette dernière droite serait l’axe de rotation de deux roues, dont l’une recevrait le premier mouvement circulaire, et dont l’autre le transmettrait à' la roue placée sur’ le second axe de rotation. ■

I.a vis sans fin placée à la case 6C du Tableau des ^lacluncs élémentaires, a aussi pour objet de transformer un mouvement circulaire en un autre mouvement circulaire , lorsque l’un des axes de rotation est dans un plan perpendiculaire au second axe.

De la yis sans fin.

(Case 6C ilu Tableau des Machmes élèmenlaires , pl. i, chap. I".}

84. La vis sans fui est une roue dentée à filets, engrenée dans les pas d'nne autre roue, à laquelle elle imprime un mouvement de rotation. Sii les filets de la vis sont enveloppés autour d*un cylindre, il n’y a qu’un seul filet qui soit engagé dans la roue; mais on peut en engager plusieurs, en traçant la vis sur une surface de révolution, qui serait tangente à la circonférence du cercle passant par le premier point de contact de chaque dent.

I,a figure du filet de la vis sans fin, et celle des dents d’une roue qui serait menée par cette vis, pourraient donner lieu à une multitude de recherches analogues à celles qui concernent les roues dentées en général.

La meilleure manière de tailler la roue dentée d'une vis sans fin, consiste à faire la vis en acier, de la tremper, de donner à ses arêtes un bon trancbaiil, et de la faite agjr sur la circonférence de la rone dentée. A mesure que le tranchant de la vis entraîne la circonférence de la roue, on rapproche l’une de Tautre , jusqu’à ce qu’elles se pénètrent de toute la profondeur du filet de la vis, et on continue à les fa(rc mouvoir ainsi l’une sur l'autre, jusqu’à' ce que la vis n’ait plus d’action sur les dents qu’elle a taillées (*). ,

(') Cet article ejl extrait de XEsstù sur l'Jrt de conttruire Us Machùses , par M. Ferry; on avait commencé l’impression de cet ouvrage vers l'année i8i i, pour l’usage de l’École ém génie de Metz, dont M. Ferry était alors l’un des professaors; on doit regretter qu’il n’ait |>as été continué. La première feuille de cet ouvrage contient l’énoncé du problème suivant: Drui axes de rotation étant donnés d’une manière quelconque daets l'espace, il s'agit de tstuverune forme d'engrencsgé qui transmette U mouvement de l'un à t autre atec des vitesses déterminées,

M. Olirier-Ramey, ancien élève de l’École polytechnique, admis dans l’artillerie, s’occupe depuis long-temps de la solution générale de cette question; le résumé -des propositions qu’il a établies sur les divers genres de frottement, et sur les formes des engrenages , est l’objet d’une note qu’il a publiée en août i8»7 ( iS pages in-8"; f'ojez l’extrait de cette note' page 39.','. Il a considéré dans cette note un nouveau système de roues dentées , que Whitc, l’auteur de ce système, a développé dans on Mémoire publié en i8ts (brochure in-4“ de 17 pages, I planche; Paris, imprimerie de Colas), et dont le modèle existe i l’École polylechniqtie. (Poyer p.sgc 3i5.1

DES MACHINES. 3g i

' Résumé des propositions reUUwes aux ertgrenages, contenues dans ce