ÉQUATIONS DE DIMENSION

Si, pour donner une signification à celle formule, on attribue à A, B, C des valeurs numériques, celles-ci ne sont autre chose que les rapports des grandeurs A, B, C à leurs unités de mesure a, b, c; par suite, le second membre devient

ce produit représentera le quotient de la grandeur G par son unité de mesure g*. Quelle est celte unité? Lorsque A, B, C sont respectivement égaux à a, b, c, le second membre est égal à i; par suite,

Supposons que nous connaissions la forme de la fonction de longueur, de masse et de temps qui représente une grandeur dérivée ; nous pourrons représenter sous la même forme Tunité de la grandeur dérivée en fonction des unités de ces mêmes éléments, que nous désignerons désormais par L, M, T.

On a donné aux équations de cette nature et de la forme

générale

[m]=:[L«MPTy]Ty

le nom d'équations de dimension, parce qu'elles montrent d'une façon très simple que l'unité [u] varie suivant les degrés a de L, p de M et y de T.

Ces équations fournissent immédiatement le rapport des valeurs que prennent les unités dérivées, si l'on change la valeur des bases. Il est clair que, si les unités a, b, c deviennent m, n, p fois plus grandes, l'unité g qui en dérive deviendra

/w« X /iP X p"(

fois plus grande : pour obtenir la nouvelle valeur de l'unité [m] quand les unités L, M et T deviennent m, n et p fois plus grandes, il suffît de connaître l'équation de dimension qui exprime [m] en fonction de L, M, T.

NOTE n.

DIMENSIONS DES UNITES.

Équations de dimension. — Considérons une quantité physique où mécanique Q dont la valeur est donnée par l'équation

dans laquelle a,b,c, ... sont des quantités géométriques, mécaniques ^ ou physiques.

Si nous remplaçons chacune des quantités a, b, c, . ., par un symbole convenu représentatif de sa nature, indépendamment de toute considération de grandeur, nous obtiendrons l'expression des dimensions de la quantité Q, et l'équation (i) deviendra une équation de dimension.

Représentons les quantités fondamentales, longueur, niasse, temps par les symboles respectifs

Toutes les quantités mécaniques ou physiques pouvant s'exprimer en fonction de ces trois quantités fondamentales, les dimensions de la quantité Q pourront être ramenées à ne renfermer en dernière analyse que certaines puissances des symboles [L], [M], [T].

Ainsi, une surface s'exprime par le produit de deux lignes, à une

constante près,

Si l'on prend, pour représenter la surface, le symbole [S], on obtien dra l'équation de dimension

Un volume étant en général le produit de trois lignes, on pourra écrire d'une manière analogue

Il est d'usage de placer entre crochets les lettres symboliques qui entrent dans les équations de dimension.

Passant aux quantités mécaniques, on trouve que les dimensions de la vitesse sont

[r] = [LT-'l,

celles de l'accélération

[7] = [pT-«] = [LT-«],