PREFACE

Jacques Bernoulli, dans son œuvre posthume ('), a introduit, par une méthode parfaitement élémentaire, la suite infinie des nombres rationnels, devenus plus lard célèbres dans l'Analyse sous le nom de Nombres de Bernoulli^ et le géomètre suisse a calculé les cinq premiers de ces nombres.

Euler(^), une vingtaine d'années après Bernoulli, a trouvé de son côté les nombres de Bernoulli, évidemment sans connaître la découverte de son compatriote. La méthode d'Euler, savoir l'étude de la formule sommatoire qui porte son nom, est aussi parfaitement élémentaire.

L'immortelle Introductio (') d'Euler donne les valeurs en décimales des coefficients rationnels a„ qui figurent dans la formule

de w = I jusqu'à /i = i3, mais l'illustre géomètre n'a pas observé que la partie essentielle et apparemment irrégulière de ces coefficients a„ est précisément formée par les nombres de Bernoulli.

(•) Ars conjectandi, p. 97 ; Baie, 1718.

(') Methodus generalis summandi progressiones {Comme ntarii Petropolitanœ, t. 6, 1739).

{*) Introductio in Analysininjinitorum, dirl. 168; Lausanne, 174^'

Mais une dizaine d'années plus tard, Euler(*) a déchiffré les énigmes des coefficients susdits en retrouvant, pour la seconde fois, les nombres de Bernoulli comme la partie essentielle des coefficients des séries de puissances qui représentent les fonctions trigonométriques méromorphes

coto^, lang^, -; >

et cette fois il reconnaît expressément la priorité de Bernoulli, car il dit :

«... vnde isti numeri, qui ab Inuentore Jacobo Bernoullio vocari soient Bernoulliani. . . »

Or, cette belle découverte d'Euler a été fatale pour le développement de la théorie des Nombres de Bernoulli, parce que sa grande autorité a poussé les géomètres à appliquer presque exclusivement dans les recherches sur ces nombres rationnels des méthodes tF'anscendantes.

En effet, on a généralement rattaché les nombres de Bernoulli aux fonctions exponentielles et trigonométriques, de sorte que les résultats obtenus se présentent comme des conséquences des identités contenant de telles fonctions. Et l'on a si parfaitement oublié la formule récursive

appliquée par Bernoulli, dans son calcul des nombres Bn Hj, B3, B4, B5,

(') Inslilutiones calculi differentialis^ \u 420; Pelrograd, 17.55.