LXXVII. — Applications des sommes de puissances

Supposons connues les sommes de puissances que nous venons d'étudier, il saute aux jeux que l'on pourra résoudre un grand nombre de problèmes concernant la sommation de certaines séries. Nous nous bornerons ici à un seul problème de ce genre, dont la solution n'exige que les sommes S«(/?) et i/iip).

A cet effet, soit

f(x) = ao^«-H a. 37" -1 -+-... -h a,i-ix -+- a,i un polynôme quelconque du /î'^™" degré, la somme

est une série arithmétique du /i'^"'^ ordre. Quant à la sommation d'une telle série, posons, dans /(a?),

ic = I, a, 3, . . ., /?, il résulte, en ajoutant tous les résultats ainsi obtenus,

Le même procédé donnera évidemment la formule analogue

(2) • 2 (-iyf(p^s)=^a,.<y„^,{p).

Soit, par exemple, nous avons tout d'abord à déterminer une suite infinie de polj-

ClIAP. XVI. — LES SOMUKS DE PUISSANCES. 3l5

nomes entiers

Fo(x), F,(.r), F,{a:), ..., F„(.r), ..., assujettis à satisfaire aux conditions

(3) F,„+,(j?)-F2„H.,(.r-i) = ^-"(.r-+-i)" [F2„+,(o) = oJ,

•l) ¥,„{x) = -^F',„^^(x) |Fo(^) = oJ;

c'est-à-dire que nous aurons de plus

Cela posé, l'équation aux dillerences finies (3) donnera immédiatement

"■" F.,..'(-^)=(~:+ou+2(r)<"'-->' »"—'">■

car l'hjpolhése x = o détermine, en vertu de la formule (3) du ..

paragraphe XLV, la valeur de la constante; appliquons ensuite la jt' J formule (i ) du paragraphe susdit, nous aurons, en vertu de (6),

T^ -^2 (rj (•'•«-•'-^)! B.„-..,^.(-).

Quant à la fonction F2«(:r), les deux développements que nous venons de déduire donnent, en vertu de (4),

H) Y^,,{x)^^^{''\{'xn~sy.^,,.s{^)

xn-

En second lieu, nous avons à déterminer cette autre suite de j)olynomes entiers

Go(x), Ç.,{x), G,(:r), ..., G„..;), ...,

.>i6 rnoisiÈHE paktie. — applications sur la théouie dks nombres. assujettis à satisfaire aux conditions

/ G,,t (x) -}- Gin(x — i) = x"(x -hl )«,

i Gj„+i(.r) = — — j— G'j„+2(.r) (« = o),

ce qui donnera

(il) G2n+t(x)-+- Gî„+i(x — i) = x'Hx -+-i)'i^x + -] .

Dans ce cas, nous aurons

{*'->■) Gin(x) =y ( ] {-^.n — s}lE2,i-s(x),

L\A\ , d'où, en vertu de la formule (i) du paragraphe XLVl,

(i3) G2„(;r) = ^ ~'^2Li (os) *'^"~ ■'•■'"• ï'-î/'-s*-*-^»'

de sorte que la définition de G-y/i—t donnera

l Gin-l (X) = \ ( j Cin — S)\ E-în-s-l < •» ),

^ \ '^-/ I X^ / fi\

G2„,(.r)= i > (a/l— i5)!Il2„-2.ç-l(.r).

Inversement, il est facile de développer les B„(a7) d'après les ¥„(x) et les E,i(x) d'après les G,i(x). A cet effet, prenons pour point de départ les deux développements

( r -A- 1 )'" -J- r'« (l5) =>——(" ' -jl-r^-^)"-

1 ^ in -\- is -\- \ \ 5-1-1 /

tirés directement des formules (12) et (i3) du paragraphe XXHF,

CIIAP. XVI. — |j;s SOMMES DE PUISSANCES.

nous aurons tout d'abord

.17» i 2/1)1 Bin^l(^)-^ =>, )i'2n-3.<+l(-r}

car les i\e.\\^ membres de cette formule disparaissent pour x ^R et ropéralion A conduira à (i5).

^^L Appliqiions ensuite la formule (/j), il résulte, de même,

de sorte (jue l'hypothèse it' = o donnera

ii-i=vr

j fi/z-aA-'oi

Quant à la formule (16), elle nous conduira aux dé\eloppemenl;