LXXVI. — Applications des formules générales

i).^,%^ , Revenons maintenant aux recherclies générales du Chapitre XV;

" il est évident que le polynôme entier

f(x) = a:"-i-(a7 -f- i)« + . . .-+- {x -+-/>)" OU, ce qui est la même chose,

satisfait à l'équation fonctionnelle de sorte que les coefficients

xxrr

/irYo^' satisfont aux formules générales du paragraphe ^K)f, ce qui donnera (0 l>-(->KlS,-(/.)=^(-ii-'('')/-'-S,,(p).

(» o='S"-)-'C'-,r')(^:)""^"svo.),

La formule (i) appartient à Euler ('), tandis que (3), comme la Ât 11)1-^ formule analogue (lo)du paragraphe XIII, a{)partientàRadicke(-).

(') Iiistitutiones calculL di (ferentialis, j). 3^8-.')5o. Pelrograd, 1755. {-) Die Becursiansfornicln fiir die Berechung der BeinouUischen und Fulerschen Zalilcn, p. t. llallc-a-S., iSSo.

CHAI». XVI. — LKS SOSIMES DE PUISSANCES. 3ll

Appliquons maintenant la cou<;riience (2) du paragraphe LIX, L,7^lfO,

nous aurons le théorème : ^

1. Supposons que p soit un nombre premier, les sommes de puissances S,„ (p) satisfont aux congruences

\ S.n(p) = o (modp), i ^2n+i(p) ^o (mod/)»).

oit il faut supposer i ^ n z^ ~ ^ •

Or, la formule <ie Bernoulli donnera des éclaircissements beaucoup plus profonds sur le problème qui nous occupe ici. En efVet, la /

démonstration de la congruence (i4) du paragraphe Iji^ll donnera, L, ZJt^

pourvu que p soit un nombre premier, ' '

Oi)

I Sî„(y;) = (— i)«-iB„/> (modyj2),

in-\- -\^nP^ (modp^),

<;j qui (h>nnera cet autre théorème, suppléuientaire au précédent :

II. Les deux congruences (5) sont valables pourvu que le nombre premier p ne soit pas du rang «, et dans ce cas, nous aurons de plus

( - S,„(/>)^(-i)"-iB„ (mody>),

ly,^tn+^ip)^{- I)"-' (« + ^) ^n (mody.)..

Soit maintenant p du rang n, les congruences (6) donnent, en vertu du théorème de von Staudt et de Th. Glausen,

l S5„(/j) = — I (mod/?),

(8, ) Sï„+,(/^) = o (mody)),

J ^ S,„+i (/>)=— ^i + ij (mody>).

On voit que la première de ces congruences est une conséquence immédiate du théorème de Fermât, et que la deuxième est valable aussi pour n = o.

(^uant aux sommes alternées a-« (p), nous prenons pour point de

317. TROrSiÈMK PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.

départ le polynôme

OU, ce qui est la même chose,

Ç(^)=2 (',!) ''rip

Dans ce cas, nous aurons

et il esl évident que o{x) est du degré n ou du degré n — ^ i , selon que p est pair ou impair, de sorte que nous avons à étudier séparément ces deux cas.

^ i" p est un nombre pair. — Nous avons à substituer, dans les

h' formules du paragraphe LXIX,

ce qui donnera

(9) |.-(-l)']T,(/.)=2(-l)v(^i'jy,'-Va,(yO,

(il) {— iYy^ir+iip) — p ('• -+- •^)^2,-(/>)

(.2) f-i)'-cr.,,^,(/>)=2(-0^("',tO (f)"'~''''^.v(/')T,v+„

formules qui sont parfaitement analogues à celles que nous venons de développer pour les S„{p).

2" p est un nombre impair. — Dans ce cas, nous avons à substituer, dans les fozmules générales susdites, n — i au lieu de w, et

CHAP. XVI. — LES SOMMES DE PUISSANCES. 3l3

à poser

^L. de sorte que nous aurons

"^) °='ï'(-Kr",')(f)"'"'^''-(")'

ic.) r

— IVT2,.+2(/>)=:2(— 0''(;J' ^n (fj Cr2v+l(/>)T,.-v + l-

Appliquons encore les formules (6) et (7) du paragraphes^, h','

/i! ~ Zid (,« + 1)

ou, ce qui est la même chose,

(x -+- 1)'» '^ ^n-ai-^)

il résulte ces deux groupes de formules

3l4 TnOISiÈME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES.