LXXVIII. — Généralisations des sommes de puissances

Il est très intéressant, ce me semble, que la formule de Bernoulli soit susceptible d'une généralisation très étendue. En efTet, soit

(i) ^=P\'P't'-"PV

un nombre quelconque décomposé en facteurs premiers, et soient

il) 'M, «2, «3, ..., Zj^, ■?.\X=^tf{M)

CHAI». XVI. — LES SO.MMRS DE PUISSANCES. 3l()

les positifs entiers plus petits que M et premiers avec M, nous avons à étudier les sommes de puissances

Dans le cas particulier où M est éf^al à un nombre premier/), nous aurons, par conséquent,

(il Sn=Sn(p — l).

Soit ensuite m un positif entier quelconque, et soient

^1, P2, ^3, .-., {iimii

l'ensemble des positifs entiers plus petits que mM et premiers à M^ nous posons de même

ce qui donnera évidemment

de plus, nous posons, conformément à la définition (i),

(7» '^k(yi) = ( p'i- v ( pï- 1) • . . ip^; - i),

de sorte que nous aurons

^ (8j M4/,(M)=/)iyj2. ..y7v?(M).

Gela posé, nous avons à étudier tout d'abord le cas particulier où M est une puissance d'un nombre premier, savoir

dans ce cas, il est évident que

p, ip, 3/>, ..., mp'

sont l'ensemble des multiples de p qui ne dépassent pas mM; c'està-dire que nous aurons

S„(m, />'•) = Sn(nip') —p" S„( m/.'--»),

3vlO TROISIKME PARÏIi;. — APPLICATIONS SLR LA THEORIE DES NOMBRES.

d'où, en vertu (Je la formule de Jacques Bcrnoulli,

Soit ensuite

Ml =/>'2'/)!; '.../>;;■'

un nombre qui contient v — i facteurs premiers, nous supposon vraie la formule

/ \ c i»T X m'! + ^ M'/ Ç3(Mi)

(lo) S„(/«,.M,)= — ! ^-^-^ — -

n-hi

où <{^a(M,) est la fonction numérique délinie par la formule (7). Cela posé, introduisons, dans (10),

ce qui donnera, en vertu de (i),

/«j Ml = m M, nous aurons évidemment

S„(m, M) =: S„(myyN, M,) - p'I S„(m/yj.-', M,), d'où, en \ertu de (10),

formule qui est précisément de la même forme que (10), c'est-àdii'e que la formule (i i) .est valable pour un nombre composé quelconque.