CIIAI». XVI. — LES SO.MMKS DE PUISSANCES

Posons ensuite, dans (12), ni = i^ il résulte, en vertu de ((i).

rt-f-i ^ ^ ji^ n-i-i \ 'j.s J ' ^'' '^ ^

ce qui est, précisément la formule générale de laquelle Thacker ( ' ) a indiqué des cas spéciaux, tandis que J. Binet (-) a étudié, presque en même temps, mais d'un autre point de vue, la somme S,,.

Soit, dans (12), M égal au nombre premier /?, nous aurons, après un calcul simple, la formule de Bernoulli pour la Somme S„{p-x).

Soit ensuite M égal au dénominateur bernoullien du rang /j, savoir

OÙ les ps sont l'ensemble des nombres premiers du rang /4, le théorème généralisé de Fermât, savoir le théorème du paragraphe LX, donnera

<-2H=?(6rt) (modb,,),

de sorte que nous aurons, en vertu de (12), ou, ce qui est la même chose,

.„ (— I)V+'-lrt„ (p i)(p l),(p ,) / AI \

'"> — -. — -(w-'-ow---).. ■(/■;--.) ,<"'"'"'■'■

savoir le théorème I du paragraphe LXII. • P'

Quant à la formule (12), elle n'est applicable que pour n^2, de sorte qu'il faut déterminer directement la somme S,; on aura, par la même méthode,

résultat qui est évident, du reste, parce qu'il est possible d'ordonner

(') Journal de Crelle, I. iO, iSjo, p. i^g-ga. Voir aussi les N.it.s d^ns les Nouvelles Annales, l. 10, i8.Ji, p. 324-328, 32S-33o. (') Comptes rendus, l. 32, iH5i, p. ()i8-92i.

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i-i?. TROISIÈME PARTIK. — APPLICATIONS SUR LA TUÉORIK DKS NOilBRES.

les nombres a^, de sorte que

(i5) a,+ a2jj^-.,+i= M (i^*S2{x).

Nous aurons, en vertu de (12),