I. Soit p un nombre premier de la forme 4/^^4-3, nous aurons

(111 ZZll!==(,)v (,nod/j),

(iii V <■.<;( le nombre des non-résidus de p^ égaux à- au plus.

Posons ensuite, conformément à la formule (20) du para- /,,33^ graphe LXXXJ, ' '

(''•il ^~' ! = (— i)^-t-/?W'^„

uii W I, e>l un nombre entier, il résulte, en vertu de (10),

Appliquons ensuite la formule (-), écrite sous la forme i-ii-i ... h'P ~ri)ip — i\)...(p — /•[jj = — r-+-/?û;,. nous aurons de même

(„, vv;,-»(-„v(l+J--H...+ i-)-,-,.Q;,.

( )r, nous aurons

b-im II 1 / 1 X

j = -: y- -. f- . . . -4- -: ^ O { mou p )

ou, ce qui est la même chose,

Il II I I / I X

. -■ — -i-. . .-h ~ -\ 1 H. ..H =0 (mod»),

'I l'x i,p~rip — rt p — /y

(') Journal de Crelle, t. 3, 1828, p. 407-408; Œuvres, t. I, p. 107-108 (Berlin, 1889).

ce qui donnera

II III i , , ,

— -+- — -h. . .-4- — ss 1 '-\-...-\ (modo).

Il t2 h i'\ ''2 r^

Cela posé, il résulte, en vertu de (i3) et (14)5 (i5) Gp=û; (mod/>),

de sorte que nous venons de donner une démonstration nouvelle de cette congruence, établie dans nos recherches généiales sur les coefficients a„ et 6« et sur les sommes de puissances des résidus, respectivement des non-résidus d'un nombre premier quelconque.