XCVII. — Applications des polynômes symétriques
Soit p un nombre premier de la forme 4'^ + i, la congruence évidente
a ^ = (/> — a) ^ (moàp)
montre clairement que a el p — a sont en même temps résidus ou non-résidus de p; c'est-à-dire qu'il est possible d'ordonner les résidus quadratiques
(i) rt, /-a, r-i, ..., r^,,,,
de sorte que nous aurons toujours
(2) rs+r,n-s+i=p, {i^s^im).
CHAP. XX. — DKS RÉSIDUS QUADRATIQUES. 889
Cela posé, il est évident que le polynôme du degré 2 ni
(3) /(x) = (a: + /•, )(ar -H rj) . . . (a; -h ri,,,)
— j7«w-4- a,a:*"'-' -1-. . .j- «j,,, ,ar -f- rtj,„
satisfait à l'équalion fonctionnelle
de sorte que nous aurons, en vertu des formules générales du para- A' graphe LXIX,
l^osons ensuite pour abréger
nous aurons de même
( .ela posé, il est évident que les congruences
(1/, ) s^n=^in( p — i) = o (moAp). ii^nLni — i)
donnent tous les autres résultats trouvés dans les paragraphes XCV et XCVI, savoir, en premier lieu,
(i5) R2„-m(/? — 1) = S2«+i = «2«+i==o (mod/>2), (i^nim — i). De plus, nous aurons, en vertu de ('j) et (12),
(ib) — -— =— /1-+-- (modo), {\<n<m — 1),
(17) £!^^(„+i\^' (mod/,), (i£n^m-i),
h,jo^ ' savoir les congruences (12) du paragraphe XCVT et (16) du para-
a </'^ • graphe XCV
^.uy
Soient ensuite
(18) A, il, H, •••, iim
l'ensemble des non-résidus de yo, il est évident que le polynôme
(19) «p(ar) ^ix^i^){X'^ii)...{x-^i^,n)
satisfait aussi à l'équation fonctionnelle (4). C'est-à-dire que nous pouvons remplacer, dans les formules (5), (6), (7), (8), les a^ par les hs correspondants.
De plus, posons pour abréger
nous pouvons remplacer, dans les formules (10), (11), (i3), les Sq par les 5^ correspondants.
Revenons maintenant aux formules (16) et (26) du paragraphe précédent, savoir
le théorème I du paragraphe LXX donnera respectivement
(21) (/'ira/'s . . . r,„)*E= (— i)'"-i (mod/>),
(22) ( j'i i'î /..j . . . t„,)î= (— i)'» (mod/)).
Soit maintenant m un nombre impair, savoir w:=2/î + i, ce qui donnera
CH.\P. XX. — DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. Sgi
il résulte, en vertu de (21),
(••i3) /-iriTa ... /^„^., = db I (modp);
l posons ensuite
l (-ii) '•|/-2/-3.../-2« + l = (—1)5-4- />Û*,
i le théorème fl du paragraphe LXX donnera les congruences J" ^ f
(2)) ■,:Q';,^(—i)^(—-[. — ^.,.-^ ^\(,)8û (modo).
' \''i fî '■2/1+1/
Soit, au contraire, m un nombre pair, savoir, m = 2/1, ce qni donnera
p = Sm -hi,
ï il résulte, en vertu de (22),
fj ('^6) i, 12I3 . . . i2„ss±: I (moàp);
f posons ensuite
(27) iii-îii... hn = (—iY-+-pQ'p,
nous aurons par conséquent
(■^.8) 2û;;s(-i)Ef4--4-;l--i-...+ -v^)-4-(-i)ïS2;,.
iXCVIII. - - Des nombres premiers de la forme 1 m -t- 3. Quant au nombre premier/? = /{w -|-3, la congruence évidente
f «2"'+» = — (/> — a)«"'+' (mod/>)
montre qu'il est possible d'ordonner les résidus quadratiques et les non-résidus de p
fl. 'i, Ta, . . ., /-î/M-Ki,
li, îî. is-, • ' • : hlll+\^
j de sorte que nous aurons toujours
(•>.) '•.v-t-tï/»-.ï-t-î = />, (i^«l2m 4-1);
iÇ)'i TROISIÈME PARTIK. — APPLICATIONS SUR LA TIIKOKIK DKS NOMBRKS.
c'est-à-dire que les deux polynômes du degré '2ni -+-i :
(4) ■ Ç(a^) = (a: -H i[)(cr ^ii) . . . (a? -+- rî«,+i) sont liés par la relalion
Dans ce cas nous aurons
(6) «2mH-i = ''{f'îrj . . . r.2,„+i = I — pQp,
( 7 ) ^2/«+i = il iî ii • • • ^'2/"-Hi = — I -f- /> ii/,.
Soient maintenant
■ h. li. h:
les ensembles des résidus, respectivement des non-résidus de p. égaux à 2 ni + i au plus, savoir
[x -h y = im -+■ i ,
les résidus, respectivement les non-résidus plus grands que 2//? -J- i deviennent
Cela posé, la formule (6) se présente sous cette autre forme ■ rir2...rjp~-ii)(p — i.2).'..(p — i^) = i~pii,, ou, ce qui est la même chose,
(,o) (i)v^!(i)v^!/^^ •+...+ i.)^^,,K^^i-/,Q„ OÙ K est un nombre entier; c'est-à-dire que nous aurons la pro-
CIUP. XX. — DES RKSIDIS QUADRATIQUKS . JgS
position due à Dirichlel ('), relalivemmi à la congruence de Lagrange :
