I. — Polynômes identiques

L équation algébrique du degré n

f{r) — a„.r'' 4- a,a"'->-(-. . . -t- a,,.r"-P-h. . . -h a„-ix -4- «„ = o

1 identique, pourvu qu'elle soit satisfaite par une valeur quelconque de r.

Cette délinition adoptée, il est évident que l'équation susdite est l(Mitique, pourvu que fous les coefficients Up s'évanouissent,

savoir :

a^)— ai — a-.

Or, il est très facile de démontrer que ces conditions suffisantes sont nécessaires aussi. A cet effet, supposons que les n -+- i nombres fiiK'Iconcpies mais inégaux

satisfassent à l'équation (i), nous aurons les // + i équations

«0 ^1 -4- «1 a" ' -H. ..-+-'''« I a, -f-c7„=o. Uo a" H- flja'^'"' -4- . . . --!- r/,, I y.., -i- a„ — c,

(4) ] «0 a;; -+- aja;; ' H- . . . -h '/„i ol„ -h a„ —

linéaires et homogènes par rapport aux coefficients «j,, équations qui représentent évidemment une condition nécessaire pour (pu; l'équation (i) soit identique.

Cela posé, il est évident que le déterminant des équations linéaires (4) est différent de zéro, parce qu'il est égal au produit de tous les facteurs de la forme

de sorte que les équations (4) entraînent nécessairement les conditions (a); c'est-à-dire que nous avons démontré les deux théorèmes suivants :

I. Véquation algébrique {\) est identique^ pourvu que tous ses coejfficients s^ évanouissent^ et seulement dans ce cas.

II. Une équation algébrique du degré n est identique^ pourvu qu'elle soit satisfaite par n + i valeurs inégales de l'inconnue.

Les deux polynômes entiers

(5) y(r) == rty.r"-!- a,3-"-i -+- . .-4- «;,,. r^ a„,

(6) (fi^.r) = 6o.r/'-l- /^i a?/' ' -^. . .~i- 6y, iX-^-b/,

sont identiques, pourvu que l'équation algébrique

f(cr) — '^(.r) = o

soit identique, définition qui donnera immédiatement les conditions suffisantes et nécessaires

De plus, nous aurons cet autre théorème :

HT. Deux polynômes entiers par rapport à a;, du degré n au

ClIAP. I. — TIIEORBMBS ET FORMULES ALXILIAIIIES. J

plas^ sont identiques^ pourvu quils soient égaux pour ii -\- i valeurs inégales de la variable x.

Nous avons encore à démontrer, comme application directe des développements précédents, le théorème suivant :