XLV. — Formules de Saalschutz

Quant à la formule gémh-ale (2) du paiai^raphe \LI1J, que nous avons à étudier séparément, posons a ;= o ; dans ce cas la fonction B/,,^^.i (a?) disparaîtra, de sorte que nous aurons, après une légère modification, le développement suivant :

*- 2; '-')"G ",)--/'— ')MW-..(.

ce ([ui nous conduira immédiatemcnl aux fornuiles incomplète; que Saalscliiilz (-) a trouvées à laid;' de la lormide sommatoii* d'Euler.

Supposons tout d'ahord que n -{- p soit un nombre pair, savoir

(') Loc. cit., p. ,).

(-) Zeitschrifl fiir Matkemalilc und P/irsiA-, l. 37, i8(,3, |>. 374-37-! : Vor/esiingen i'iber die liciitoullisclien Zahlen. j). iSViSy. lieilin, iB()3.

CIIAP. IX. — FORMII-KS 1NC( MPI ÈTKS 1)K PHKMIKRE KSPECK. I Sc)

|>iii.s posons X = o, il résulte la formule incoiuplèlc

{ ■> m -+- I ) . ^^ \ •-». 5 -i- I / ;•. ni — - >. 5

^ \->.S -\-lJ •>. //l — •' 5

-dil particulièremenl p := ?i, ce qui donnera /» = /i,'nous aurons la rt)rmiile la plus élégante de ce genre, savoir

Soil /i=2A\ respectivement n = zk -{- 1, on verra que la lormule (4) contient respectivement les ensembles suivants de nombres de Bernoulll :

« est-à-dire que la formule de Saalschiilz contient, dans le premier (US, un nombre de moins que celle de von Ettingshausen.

I^osons ensuite, dans (i), x = -, puis ajoutons à la formule (3)

ICquatlon ainsi obtenue, nous aurons, en multipliant par a"""',

ce qui donnera particulièrement, pour/; = m = /?