XLIV. — Généralisations des formules de von Ettingshausen
Supposons dans la formule générale (10) du paragraphe précédent, a = o, remplaçons cj par q — i, où
iSg^n — I,
puis posons pour abréger
CIl.Vl'. IX. — FORMULES IM-OMPLÉ TES DE PREMIÈRE ESPECE. l8>
riiyj)t)lln}se a; = o donnera
Soit niaintcnanl /• un nombre pair, savoir /• := 2m, nous aurons, en divisani |):ir (77 — 1 )! les deux membres de (2),
^2(--U';,)(""";ir-')''.
On voit que l'hypothèse </ = 1 , d'où, en verlu de (i), n -r- p ^= i m + I , donnera la formule la plus élégante de ce genre, savoir
formule que Slern /') a trouvée parla méthode transcendante ordinaire.
Quant à la formule [/\), elle se présente sous la forme la plus élégante, si nous posons p = /i -\- i ^ ce qui donnera m=:n; la formide ainsi obtenue
est trouv(''e j)ar von Eltingshausen (-), à l'aide du ealcid aux dille-
(') lieili\ii^e zar Tlieor e der Hernoullucken uid Eu'erschen Zahlen, p. 7-i(i: Mémoires de la Société de Goeilingue, 187X.
(') Vorlesungeii iiber die li'ihere .yfathcmct/i\, t. I, p. 3S4-285. Vienne, iSj-j.
lH\ 1)1,1 \li;\li: PAHIIK. — I.KS NOMBRES DE lîERNOLLl.I ET DEULER.
rcnco liiiio, cl icprf'scnlc hi picmirre formule incomplète connue, (jue je saclic. I*ai' une l'aille (rim|in's.sion, von l'ittingsliausen a supprimé le sionc allciiK' daii^ sa l'onniilc, <le sorte qu'il indique qu'une somme de iioml)res posilils esl égale à zéi'o.
Celle ])elle deeo(i\erle de von Ellingsliausen sendjle élre [)arfaitement oubliée, de sorte que; l'on prêU; à von Seidel et à Stern l'honneur d'avoir découvert la première formule incomplète de ce genre, un demi-siècle après la publication du livre de von Ettingsliausen. Giqiel ('), dans sa petite note relative à une publication de Sclilomileli, mentionne le li\re de xoii Eltingshausen, sans citation de la formule remaicpiaUle dont il sagil.
Supposons, dans (5), /?= a/», resjx'ctivcment /* = 2 /.• -h i , la formule de von Ettingsliausen contient les ensend)les de nombres de Bernoulli
IÎ2A. \'>>f.u ■•■, 15/,
Soit ensuite, dans (3). ^ = 2, ce qui donnera, en vertu de (i).
Il -y- p — im + •>,
il résulte
("'>•(..+,]'"« ■•»+')ii.
renq)laeons. dans eetle formule, // el p pai' // -i- i . ce fjui d< m ■=■ /i, nous aurons la formule la plus simpb^ de ce genre
formule que \(>n Seid(d(-) a trouvée à l'aide du calcul aux dillerences linies.
(') Archiv de Grunerl, t. 3, iS'|.S, p. G5.
(-') Sitzu:>gsberi(hle der Miiitchcner Akadcnie. 1^77, p. l'i'i-iC).
CllAP. IX. — KORMLl.ES INCOVIPLKTES DE l'RE.MIEIlE ESPECE I»)
On voit que la fornuile (7) contient précisément les mêmes nomlu'cs (le Bernmilli que celle de von Ettingshausen.
Revenons maintenant à la formule j^énérale (2), puis supposons impair le nombre /•, savoir r =^ 1 m -|- i , il résulte
Soit particulièrement ^ == i , ce qui donnera, en veilii de ( 1 1, /i -i- p =z ■>. m -+- ) ,
iioii> aurons la formule de Sh-rn (')
^ ' ^ \->.s -^ •>, / jLi ^ ^ \is-i- ■>.
(•u voit que la formule la plus simple de ce genre correspond à />:=/<-(- 2, ce qui donnera m = n.
l'osons encore, dans (8), cj = 2, ce qui donnera, en vertu de (1),
n -\- p — Kin -(- j, nous aurons la formule
ilont le cas le plus simple correspond i\p = n + i , savoir in^z /i — 1 , te qui conduira tle nouveau à la formule (-) de von Seidel.
()uant à la formule générale (9) du paragraphe précédent, nous
(') ncilrd^c. p. - ifi: Mrnwires de la Société de doelliniiue. 11^7^.
l86 DKLXIKMIi l'UtTIK. — I.F.S NOMBRES DE BERNOILLI ET DEULKR.
posons a ::::= o; supposons ensuite
l'hypothèse .2; = o donnera, en vertu de la délinillon (1) du noiîibre /•,
(II) ;^(^^)(,- + ry-.;!K..,(o)
Soit maintenant /' un nombre impair, savoir /• = 2 //i -|- 1 , nou^ aurons, en divisant par q\ les deux nombres de (11),
le cas particulier qui correspond à (7 = 0, savoir
/t -1- y) = 9. /rt -H I .
appartient à Stern ('). Posons encore /> = /î + i , ce qui donnera m ■=^ /i, nous trouvons la formule la plus simple de ce genre. Posons encore, dans (12), ^ = i, savoir
n -t-yo = •>. m -(- 2,
nous aurons la formule la plus simple de ce genre en supposant p = II, ce qui donnera m = n — i . De cette manière nous trouvon.s la formule de von Seidel ('-)
(.3) 2]("ir(,,")<'^-^)'>-*-^T„, = o (n^,,),
(') Beiiràge, p. 7-16; Mémoires de la Société de Goeltingue, 1878. (^) Sitzung.^berichle der Muncliener Akadeinie, «877, p. 17K.
CIIAP. IX. — KOB.Mtl.KS INCOMI'LK TES Dli l'UKMIKIli; KSPECE.
I, CL' qui est évidemment la même chose,
y (-0-^Y". H'-"-^-^- 0H„-..= o (ni'
Soit (Misuite, dans (i i), /• un noml)r<' pair, savoir /• = 2ni, nous
aiimiis
/ Il \ / ■> m -l- /-i — •) « — I \
la l'oiinule obtenue de (i5), en j supposant^/ = o, est due à Stern('). l'osons p =^ n ^ 2, ce qui donnera m ^= n -+- i , nous trouvons la lurniule la plus simple de ce genre.
Posons encore, dans (i5), q = 1 . p = n -\-i, ce qui donnera /Il = //, nous retrouvons la formule (i3) de von Seidel.
Les formules générales que nous venons de développer donnent (|iiclques formules spéciales qui nous seront très utiles dans nos nclierches suivantes.
En effet, posons dans (4) et (9), n = 2, p = a/n — i, respecli\ement p ^= 2m, il résulte les formules récursives homogènes
liiiidis que (2) donnera, pour fj= i , /i =: 1 , /? = a/;? + 1 , la formule lion homoffène
( ' ) fieili-cif^c, p. 7-1 fi.
Ib» DEIJXIKMK l'AIiriK. — LES NOMBRES DK HERNOLI.U ET DKUI.ER.
(^iianl aux formules ( 12) et (i 5), les hypothèses /t = 2, /> = amicspceliNement y> = o-ni donnent
(19) (■*/«-:î)T,„-^ y (,).<( ''"'Vw— .S) ■/^■^•T„,^,= o,
(■») ■.mT,„-|^(';'')-,li,(™-i.T,„
Ces einq foi'mules sont dues à Stern (').
