XLVI. — Formules contenaat les nombres d'Euler

Soit, dans les formules générales (9) et (10) du paragraphe XLIII.

.r = . il est évident que Ton obtient des formules moins simple^

que dans le cas ;r:=o; car les dérivées qui figurent aux premiers membres des formules susdites sont assez compliquées pour d'autres valeurs de x.

Quant aux nombres d'Euler, nous avons par conséquent à prendre pour point de départ les formules (2) et (o) du paragraphe XLIIT. Posons, dans la seconde de ces deux formules, a = o, nous au-

CIIAP. IX. — FORMULES 1N( OMPLinKS DK l'UKAIIEIll-: KSPEC.K. I()l

Vnll>

X" (.V -Jr t)i' = 2 (s ) *" -'l'P — s)'. En+r-A.^)

Supposons ensuite x= — -, puis posons fi^/} = 9.m et

// -{- p = 2/« H- I , nous nurons respectivement

On voit que les hypothèses /? = n,/; = w + i, ce qui donnerti /;/ = n, conduiront toutes deux à la formule éléfrante

Éludions maintenant la formule (2) du paragraphe \L111, l'hy tlhèse a == o donnera

-^ 2 (-OM,"j<>' + /'-^"-0'n„^,-.(^);

]i(»s.)ns ensuite a?=— -, puis 07=— 7, nous aurons, en sous-

\ rayant les deux équations ainsi obtenues, selon que

igv. DEUXIKMi: l'AUTIK. — LKS NOAIBlUiS DK l!i;UNOLLM KT DEULKIl.

OU

il)

<ll^

Soit ensuite y> = /i -f- i , respectivement y; = « -|- 2, nous aurons les formules les plus simples de ce genre, savoir

Ces deux formules particulières et les formules générales (2) et (3) appartiennent à A. Radicke ( ').

En dernier lieu, différentions par rapport à x la formule (i),

l'hypothèse x = — - donnera, selon que n -\-p z^ iin-\- \ ou ji -i- p = 2ni-\- 2,

(,o) (,).<+«(.,^.,n)= 2 (-'>-(.fJ(^"'--?-5 + >)2^-^E/«-.

(1) Journal de Crelle, t. 89. 1880, p. 257-261.

HAP. IX. — lOKMlLES INCOMPLÈTES DE PHKMIÈUK ESPÈCE. I9J

On voil que les torimiles les pins élégantes de ce genre correspondent à p =z n -\- i, respectivement p = n -\- 2, ce qui donnera