XLVII. — D'autres formules incomplètes

Les développements généraux du paragraphe XLIII donnent immédiatement une suite d'autres foi-mules récursives que nous avons à mentionner ici.

En premier lieu, posons, dans la formule (2) du paragraphe susdit.

il résulte

Soii maintenant, dans cette formule, 7i-{-p=^2ni — i, nous

(jiii donnera pour p := n - i, savoir m ^= «, la formule la plus

NtELs MEI.sEN 13

Mj4 DEUXIÈME PAHTIK. — LES NOMBRES DE UERXOLLLl ET d'eULER.

élégante de ce genre

L'hjpothèse n -{- p == 9. m donnera de même, en vertu de (2),

(2 m -\- i)\ j^ \i s -\- \ ) im -~ ■>. s

^4 \ 9. 5 -(- I / 2 /Il — 2 s

soit particulièrement, dans (4), p = n = m^ nous retrouvons l f».Oj ' formule de Saalschûtz, savoir la formule (4) du paragraphe XLV I À %%, . En second lieu, posons dans la formule (10) du paragraphe XLIl

il résulte

<5' l(:)"""J^"'lWo)

-lî,

Soit maintenant m un nombre pair, savoir m = 2 k.

i«) 2(-)if,)('-'"r'^')"'-"»"-

nous aurons

CIIVP IX. — KORMLI.es incomplètes DR PnEMiÈRE ESPÈCE. I()5

d'où, en posant ^ = o et p z= n := m, on retrouve la formule de Seidel, savoir la formule (i4) du paragraphe XLIV.

Supposons ensuite impair le nombre m, savoir m = 2A + i, il résulte, en vertu de (5),

(lOù, en |)Osant g = o, /) = «+i, ce qui donnera k = «,

En dernier lieu, nous avons à étudier la formule (9) du para- L, -^^2^, graphe XLIII; posons a = — J7, il résulte l'identité

OÙ il faut supposer par conséquent o^q'^ti — i .

Soit parliculièremcnt a? = 7 •

n -h p = 1 m -+- q )i -^ p — im ^ q -\- \^ nous aurons respeclivement

-i^^-'Or^r'^

11)6 DEUXIEME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET d'eUI.ER.

les formules spéciales obtenues de (lo) et (i i) en posant q = 0 sont dues à Stern ( ').

11 est évident que l'on peut déduire un grand nombre de formules plus spéciales, en donnant à /?, /?, q des valeurs particulières; nous nous bornerons à indiquer les applications suivantes :

I ° ^ = o, /> =: i ; n r=. im — \ ^ n =^ im :

s = tn — 1

3" <y = o, jy = 2 ; /i == 2 m — 2 , /i = 2 m — i :

(') Beitràge. p. 3i-.i'i; Mémoires de la Société de Goettingue, ii~'^.

t;HAP. IX. — FORMULES INCOMPLETES DE PREMIKRE Ef^PECE. 197

\" (j = (», Il =:^ i\ p ^=z lin — 1^ p ^= im — I :

j" r/ = (),/; = 3 ; 71^=. im — 3, n ^=. im — 2 : * = /«— 2

(>" *y = o, « = 3 ; yD = 2 ;/i — "i^ p =z -i m — 2 :

-" tf =^ o, p = \. n =^ tim — 4 •

Plusieurs de ces formules spéciales se trouvent dans le grand Mémoire de Stern; cependant nous ne nous arrêtons pas à des citations.