D'AUTRES FORMULES INCOMPLÈTES

LU. — Applications des formules générales.

Revenons maintenant aux formules générales (9) et (10) du paraaphe XXVIIl, savoir

r^ ( — if{ n -~ q — 5 ) ! {m — q)\

'Il -H n

valables pour les éléments de la base d'une suite régulière quelconque, et dans lesquelles les sommations aux premiers membres sont à étendre jusqu'à ce que les coefficients binomiaux qui y figurent s'évanouissent tous deux.

11 est évident que ces deux formules sont d'une généralité très étendue, de sorte qu'elles donnent un graiîd nombre des formules récursives incomplètes contenant les B/, et les T„; nous nous bornerons à indiquer les plus simples de telles formules spéciales.

1° Soit

rt| = - . o.,„ + i = o,

la suite régulière correspondante est celle formée des fonctions de Bernoulli.

2l(> DKIMIÎME PAKTIIÎ, — LES NO.MBUKS DK UEKNOULI.I ET D EIM:».

2° Les hvj)olhèses

ag = -» et 211 = o,

donnent la suite régulière formée des fonctions d'Euler.

Étudions tout d'abord la formule (2 ), où nous supposons rj <; /?, ■nous obtenons des foimulcs r(''curslvcs incom|)lètes de pi-emièrc espèce contenant les 13,^ ou les T^^.

Quant à la formule (i), où nous supposons y ^ o, elle donnera des formules incomplètes contenant les nombres de BeruouUi

Bi, P,2, B;j, ..., n,.; B,.+,+,, n,.+,+2, .-., i>r+s+/

ou les coefficients des tangentes aux nuMues indices.

Je suppose que ces formules sont les mêmes que celles meiilionnées par M. Haussner ( ' ) comme appartenant à Saalschiilz (-).

Soit q = o, nous obtenons les formules de Saalscliiit/ que nous avons développées d'un autre point de vue dans le paragraphe \LA ; ces formules sont du reste trouvées presque en mênu' lemps par Hermile (•').

3° Posons

(•).rt-r-I)!

la suite régulière correspondant avec Télément général

/„(» = fx^ ^-\ B„+,(;r) — (« + ■>.) B„+2(>). 4° Soit de même

(') Gottinger Nachricliten, i<'<93, p. 778.

(-) Physihaliscliôkonom. Gesellschaft zu Kom'gsbci-g. p. tSf)-. (^e Mémo n'est pas mentionné thuis le JahrbucJi iiber die Fortscliritte dcr MalluuKilik. (^) Mathesis, 2" série, l. .'), suppl., II, 189'), p. 1-7.

CHAP. XI. — D AUTRES FOBMUI.HS INCOMI'LKTKI?. i 1 7

nous aurons

On voit que les formules récursives ineomplôtcs obtenues dans ces cas sont plus compliquées que celles obtcmn s (hms les cas précédents.

()uant aux formules générales (5) et (6) du paragraphe \\\ II,

,+iX"'-i-%

[( 4 ) G ( j" ) = ( — I )" V (n-i-s)\('^~^^ja„ ^,/+, x"'+'/--\

ioù nous avons posé

l jf = n

tandis que [/«(.r), ««] est une suite harmonique quelconque, elles [donnent aussi un grand nombre de formules récursives incomplotes Lparmi lesquelles nous mentionnons les suivantes :

j" /„(j^ ) = li„(:r), a- = ', .r=— -, x = —-'

6" fn{^)=^^n{3r), X=

On voit du reste que les formules ainsi obtenues deviennent phi^ compliquées que les précédentes.

'2iH nKiMihn-: l'Airnr. — les nombres de bernouli.i et d euleb.

LUI. — Applications des fonctions ultrasphériques.

Il est très intéressant, ce me semble, que les fonctions ultraspli riques de première espèce ( ' )

Pv.n^)==2'-'K . ( n-s ^•'■■^)"""

donnent des formules récursives incomplètes, et pour les B„ et poulies T„.

En efTet, la définition (i) donnera, après un simple calcul direct,

(■2) D,^Pv."(:F) = -2vPv+i.«-i(;a7),

(3) {n -+- i) t'^."+'(3-) = (7.V + ii)x ?''^"{x) — (i — x^)V)x P'^'"(a');

soit ensuite, dans (3), 57 = — i, il résulte

ce qui donnera généralement

Cela posé, on aura, en vertu de (2), d'où, en vertu de (4), de sorte que nous aurons la série de Tajlor

C) Voir mon Traité : Théorie des fonctions métnsphériqiies, p. g't-na. Paris,

r.HAP. XI. — D AITKES FOnMlîI.ES INCOMPLETES. ^ H)

Les expressions

étant déterminées à l'aide des formules (i) et (5), on voit que les coefficients des deux développements

sont déterminés, abstraction faite de «„,« (v), coctliriciu cjni exige des i-echerches spéciales.

Or, introduisons, dans les développements susdits, v — i au lieu de V, /i -\- I au lieu de w, puis cherchons les dérivées par rapport à X des deux membres des formules ainsi obtenues, il résulte, en vertu de (2), les formules récursives

(2v-a)Z»„,,(v) = 6„+,,.(v-i;, ce qui donnera (inalement :('2v-2)r'."(3:)

V^ ^ /v -4- rt — s — I \ / 2V -f- 2 /i

Introduisons maintenant, dans ces deux formules, les valeurs numériques de x, mentionnées dans le paragraphe XVI, il résulte des formules récursives pour les B„, T„, E„, et ces formules sont remarquables, parce qu'elles contiennent le paramétre quelconque v.

220 DKUXIKME PAKTIK. — LES NOMUUES DK BEHNOIIJ.I ET D EULEIl.

Or, la valeur de P^'"(jc) ne se présente; sous forme simple que dans les deux cas :r == o et x = — i , il est évident que les formules récursives qui correspondent aux autres valeurs de JC deviennent assez compliquées. C'est pourquoi nous nous hoincrons à l'étude des deux cas susdits.

A cet effet, posons, dans (6j et (7), r = o, puis introduisons mi au lieu de /i, la dernière somme qui figure au second membre de chacune de ces deux formules disparaîtra, le dernier terme seulemenl exclu, de sorte que nous trouvons après une légère modification

J^ \ in 2 5 I \ ■>. X -t- I /