CHAI». X. — FORMULES IXCO.MPLKTES DE SECONDE ESPECE

incomplètes de ce "fenre sont beaucoup plus simples que celles indiquées dans le paragraphe précédent, ce que montrent clairement les exenq)les suivants.

Soit /i = 2, nous trouvons

«! F„(^) = (x-^ "T") "^ v "^ "hr~) '

(rt -+- lyl G„(xl = f a7H ■ — j —{^x-i —j ,

ce ([ui donnera

( m -H I ) ! 2 de surlc ijiic nous aurons

Cela [)osé, nous trouvons les formules incomplètes

'"'1 ; — ; — — 7 : — I / i"îii-is

21'. DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES l)E BERNOULLl ET D EULKR.

(— i)"(ah-i) v" C— if/4« + 4

(,.,) a„ + i(,y<^.2«= 2] (-■r(^";^!^)(2^''-'--')'i'''H2«--ls-,

les formules (lo) et (i3) sont celles de Knar ('). Soit ensuite k= 3, nous ti'ouvons

de sorte que l'identité évidente

I ri- i /o

donnera

(i/« — -, r; l — ^- cos :; — '— ;

c'est-à-dire que les développements généraux deviennent

(') Archiv de Grunert, t. 27, i856, p. 455-456.

CHAI». X. — KOIISIULKS INCOMI'KKTES I)K SECONDE ESPECE. JA)

Dans ce cas, nous trouvons les formules iuconiplèles

V=I ( I 7 ) (— I )" ■'."-' M -f- •>, COS ^"^ ^' TT )

.v = 0 ^ ^ (— l)"-'(>.« + 3) / ^rt + 2 \ V/ ^/'^

Les formules (i6), (i8), (20) sont à appliquer, pourvu que /t soit un multiple de 3, sinon nous avons à appliquer les trois autres formules.

Toutes ces formules spéciales que nous venons de développer sont trouvées par van den Berg ( ' ) ; MM. J.-C. Kapteyn et W. Kapteyn (*), dans leur grand Mémoire sur les sinus d'ordre supérieur, ont retrouvé les formules (6), (10), (16), (20), et M. Rogel (') a retrouvé la formule (21).

M. Haussner ( *) a indiqué quelques autres formules incompldes qui ne sont pas des cas spéciaux des développements précédents.

(') Verslagen en mededeelingen der Koninlijke Akademie Ainslerdam, lie, t. 16, 11S81, p. 1 19-121, 125, 161-166. (') Sitzitngsberichte der Wiener Akademie, l. 93, H, 1886, p. 836. (') Jahrbuch iiher die Fortschritte der Malheinatik, t. 26, 189.1, p. 'î>^6. I ') Gottinger Nachrirhlen., '•'^93, p. ■'^oS.