LXII. — D'autres théorèmes de von Staudt

Le dénominateur hernoullien b„ est ù désigner coinine une fonction numérique bien définie, quoiqu'il n'est pas possible d'indiquer -'On expression générale, parce que nous ne connaissons dès à présent l'ensemble

1} X,,X,, X3, ...,Xv,.

(les nombres premiers du rang n.

Quant au numérateur bernoiillien «„, ce nombre semble être hcaucoup plus compliqué que ^„, et c'est la même chose pour le nombre entier A„ qui figure dans la formule fondamentale

■?. X, /, Av„

Le théorème II du paragraphe précédenl indique une propriété uénérale du numérateur bernoullien <7„ ; une autre propriété de âr„ tst exprimée par le théorème suivant, où nous avons remplacé V/< par V simplement :

I. Le nurnéraleur bernoullien du rang (insalisfait toujours à hi congruence

(,)n+v l„ (X,— l)(X.2— I,)...(Xv— I) ,.

,)(Xy«-i,)...(X^'-',)

11 est très intéressant, ce me semble, que le second membre de (3) ne dépend que des nombres premiers du rang n.

Quant à la démonstration de la congruence susdite, elle peut être déduite de la formule fondamentale (2). Or, nous ne nous arrêtons pas à une telle déduction du théorème 1, parce que la congruence 111 question se présente comme une conséquence immédiate d'une autre formule généi-ale, nous le verrons dans le paragraphe LXXVIL

Quant aux deux nombres a„ et ^,j, von Staudt a découvert une autre congruence, que nous avons à généraliser un peu.

A cet efiet, nous prenons pour point de départ la formule de

•254 DEUXIEMIi PAHTIH:. — \.K> NOMIIHKS DE UEKNOUI.I.I HT I) RULER.

Jacques Bernoulli, écrite sous la forme suivante :

> = 1 soit ensuite « = 4? nous aurons par conséquent

(4) (-1)" i(->n -^- i)S,„C^) = ^ii-in ^ l)\^n- 6!i Ç'"' ^ '\ Hn-i-^ 5v>./.,

où /. désigne un nombre rationnel, dont le dénominateur est impair. Posons ensuite, dans (4),

puis multiplions par ft,, les deux membres de la formule en question, il résidte la congruence

, -, / , N -. 4«^— I a,i..ih„

{ )) i'j. n -{- i)a/t — ib/i ; — j

y bn—i

Soit maintenant // un nombre pair, savoir ji = im^ et soit m ^ 2, nous aurons, en vertu de (5), en divisant par 2« + i,

(6) ciim = f^9.m (modSa).

Or, la formule binomiale donnera

34'"= (1 — 4)4'" I — 48 m (mod64); c'est-à-dire que la congruence (6) deviendra

<i-2„i ('i\ni — ^)l>iiu (m«>d3'. ) ou, ce qui est la même chose,

(7) a.2„i + {'^m -^\)b.2,n o (niod3.i) (m^-i). Quant au cas exclu m^i, on aura

CHAP. Xlll. — l>K I.A NAILUK DKS NOMBRES DE BKKNOLLLr. ■;>,5.')

Il (jiii donnera

rtj-i- 62= 16,

-avoir la congruencc

Oi-hb^^o (mod 8).

Etudions ensuite le cas où /i est un nombre impair, savoir

n = '.im -f I ' /Il 1),

il résulte, en vertu de (5),

(9' «î„,+,L (ifi-f--!:^!^ j (mo(132);

(l;in^ (■•• (as. la formule binomiale donnera

iim+i = ( I 4 )2'«+i s^ (, t- 80 m ( mocl 64 ),

d'où, en vertu de (9),

ou, ce (|ui est la même chose,

(10 ) ai,„+i — (Sm —ii)bî„,+i =0 (mod 32).

(^uanl au cas exclu m = o, on trouvera directement

B, = -, a, = I, ùi= i,

ce qui donnera

(II) «1+61=0 (mod4)-

Cela posé, nous avons démontré le théorème suivant :

II. Soil m>i, les deux nombres a,i et b,, satisfont aux coni.'niences

\ a-im+i— i^ffi — ii)^2/«+i = o (iiiod 32), ( a2,„H-2-H (8m -M)62/M+2 " (mod 3?.).

Appliquons ensuite la congruence spéciale (8), il résulte les deux

256 DEUXIÈME PARTIK. — LKS NOMBRKS DE BERNOILI.I ET d'eULER.

congruences dues à von Slaudl (')

i «2/«+^2/;i^o (mod 8),

I «2/«+i+ 362/,,+iHHO (mod 8),

OÙ il faut supposer m^ i .

On voit du reste que les congruences de von Staudt se présentent sous cette autre forme plus élégante, mais moins générale,

(i4) an-^.(—\)"bn^o (mod 4) {n:^2).

Revenons maintenant à la formule fondamentale (2), que nous écrirons sous la forme

le numérateur (/„ est évidemment la somme des y„ produits formr> de v„ — I facteurs inégaux pris parmi les v,j nombres premiers du rang n.

Supposons ensuite que cr parmi les nombres premiers du rang /i soient de la forme i/n-{-i, x de la forme \ni-}-Z, de sorte que nous aurons

il nous reste à étudier séparément les deux cas suivants : i" T est un nombre pair, ce qui donnera

tandis que d,i contient précisément 7 termes de la forme . 4 1-*- + ' ? obtenus en supprimant un des nombres premiers de la même forme, et T termes de la forme 4h"-+^5 obtenus en supprimant un des nombres premiers de la même forme; c'est-tu-dire que nous aurons

(17) <:/„= tf H- 3- = Vrt -+-■>,•: = v„ (mod 4),

2" T est un nombre impair; dans ce cas nous aurons

tandis que r/„ contient u termes de la forme 4^^ + 3 et t termes de la (') Z)e nuineris Bernoullianis comtnentatio altéra. Erlangue, iS^ô.

CHAP. XIII. — DE Li NATURE DES NOMBRES DE BERNOULLI. •i.S']

lornic iu -h i , de sorte que nous aurons ici

( i»>) «?„= Sa* -H- = v«-h ao* =H 2 — v,j (mod4);

< ar le nombre

tist impair.

Cela posé, la formule (i5), écrite sous la forme

ib„ 2. b,i

donnera immédiatement

«2/1 ,1 . , . , dm

(It^ sorte que nous aurons, en vertu de (i3),

;'o) A,j6„-I- (— i)«6rt-i- c?,j = o (mod 4j,

où il faut supposer ti^ \ .

Soit maintenant t un nombre pair, il résulte, en vertu de (i6)

..I) A„+v„^(-i)«-'=(-i)"+t-i (mod 4),

tandis que l'hjpotlièse t impair donnera, en vertu de (i8) et (if)),

— A„-i-(— i)«-i -H 2 — v„= o (mod 4) ou, ce qui est la même chose,

' i ) A„ H- v„ = 2 — (— I )« = (— I Y+x-ï ( mod 4 ).

Cela posé, nous aurons, en vertu de (21) et (22), le théorème déduit par Stern ( ' ) à l'aide d'une longue suite de congruences compliquées :

III. Le nombre enlier A„ qui figure dans la formule fondamentale de von Staudt et le nombre v« des nombres premiers du

(') Journal de Crelfe, l. 81, 187^, p. 2\jo-?.()\.

NIELS MBL8EN 17

258 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULI.I ET d'eULER.

rang n satisfont à la congruence

(23) A„-<-v„=(— i)«-HT-i (mod 4).

On voit que le théorème III donnera immédiatement cet autre, dû à von Staudt (' ) :