I. Désignons par p un nombre entier quelconque^ l'expression
est toujours un nombre entier.
On \oit (jue ce théorème est une généralisation intéressante d'un autre, dû à Sjlvester ( ' ).
En effet, Sjlvester a démontré que l'exjjression
Uo, ,.(^,= ^'-'<^"-'>'^-
est lin nombre entier, pourvu que p le soit; c'est-à-dire que nous aurons, en vertu de I,
(11) y,t(p) = o (mod/>''-i) (n^'2).
Lipschitz (^) a retrouvé le théorème susdit de Sjlvester concernant le nombre y,i{p)', niais quoique l'éminent géomètre allemand (*) ait indiqué, plus lard, la priorité de Sjlvester, on désigne néanmoins généralement le théorème en question comme appartenant à Lipschitz.
Le théorème susdit de Sjlvester appartient du reste à ceux sur
(') Philosophical Magazine, février 18G1.
(^) Journal de Crelle, t. 96, 1884, p. 2.
(3) Bulletin de Darboux, 2' série, t. 10, 1886, p. i4i.
CHAI». XIII. — DE LA NATl RE DES NOMBRES DE BERNOULLI. ?. > I
lt>sqiiels feu M. Baclimann (') remarque qu'ils « bislier aiif rein (itillunetische Weise niclit gewoniien werden konnten ».
Quant à noire ihéorèine 1, il est possible d'abaisser, dans beau- « ()up de cas, l'exposant « + i de p. Soit par exemple p de la torme 6m ±1, on démontrera par le même procédé, en vertu de (5), que l'expression
•in
I >l un nombre entier, mais la seule règle générale, applicable dans loiis les cas, est celle indiquée dans le théorème I.
Revenons maintenant au nombre n.n{p) que nous écrivons sous la forme
où a,i et bn sont le numérateur, respectivement le dénominateur hernoullien du rang /?, puis supposons que l'indice ?i soit de la
orme
où a désigne un nombre premier, nous aurons ou a = 2, ou a sera lin nombre premier du rang n. Dansée dernier cas, le dénominateur qui figure au second membre de (i3) est divisible précisément par «''+'; supposons ensuite que p ne soit pas divisible par f/, nous aurons la oongruence
1 j I pa'Ka-\) — I ^ o (mod a^^' )
due à Euler (-*).
Soit maintenant a un nombre premier impair, mais quelconque du reste, il existe toujours des positifs entiers /?, non divisibles |)ar rt, tels que la congruence
1 j ) p-" — 1 = 0 ( mod a )
uest possible que dans le cas où « est un nombre premier du
(') NLedere Zahlenlheorie, t. 2, p. 3i. Leipzig, hjio.
(') Novi Coinmentarii Acadeniiœ Petropnlitanas, t. 8, i76()-i7<ji (1763), p. 1..2.
iVÎ DICfXlKMK l'AUrii:. — LES NOMUUICS UK III;HN0LI.M et [) EULKll.
rang //, savoif
(i6) ui <) (mod p~\).
I.es nombres p qui possèdent la propriété susdite sont désignés comme des racines primitives modulo a.
Supposons maintenant que l'indice n contienne le facteur premier a qui n'est pas du rang «, puis choisissons p comme une racine primitive modulo a, la formule (i3) donnera immédiatement
a„= o (mod a), c'est-à-dire que nous avons démontré le théorème de von Staudl (') : Jl. Supposons que l indice n soit de la forme
où tous les facteurs premiers de a,,, abstraction faite du nombre premier 1 peut-être^ sont du rang «, tandis que le nombre impair [3,4 est premier avec a«, le numérateur bernoallien du rang n satisfait à la congruence
(18) a„7^ o (mod f3„).
Adanis (-). dans sa calculation des 62 premiers nombres dr Bernoulli, a retrouvé empiriquement le théorème susdit, sans pouvoir le démontrer.
Désignons maintenant par p et q des nombres entiers, puis posons
(•9) ^^nip,q}-^— :^^ '
Lipschitz (^) a démontré que o„(/>, q) est un nombre entier, pourvu que p el q soient sans diviseur commun.
Or, c'est une conséquence immédiate du théorème II que o„[p, q ) est toujours un nombre entier, pourvu que le plus grand diviseur commun de p el q soit premier à 2 bn-
(') De numeris Bernoulliaiiis commentatio, Erlanguc, i8'|.).
(^) The Scientific Papers of Jolin Couch Adams, t. 1, p. 4'5''- Cambridge, 189^.
(') Journal de Crelle, t. 96, i«84, p. 3.
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