PRÉFACE

Jacques Bernoulli, dans son œuvre posthume ("), a introduit, par une méthode parfaitement élémentaire, la suite infinie des nombres rationnels, devenus plus tard célèbres dans l'Analyse sous le nom de Nombres de Bernoulli, et le géomètre suisse a calculé les cinq premiers de ces nombres.

Euler (*), une vingtaine d'années après Bernoulli, a trouvé de son côté les nombres de Bernoulli, évidemment sans connaître la découverte de son compatriote. La méthode d’Euler, savoir l'étude de la formule sommatoire qui porte son nom, est aussi parfaitement élémentaire.

L'immortelle Zntroductio (*) d'Euler donne les valeurs en décimales des coefficients rationnels &, qui figurent dans la

formule

de n—1 jusqu'à n —13, mais l’illustre géomètre n'a pas observé que la partie essentielle et apparemment irrégulière de ces coefficients «, est précisément formée par les nombres

de Bernoulli.

(?) Ars conjectandi, p. 97; Bâle, 1713.

(2) Methodus generalis summandi progressiones (Commentarti Petropolitanæ, t. 6, 17939).

(3) Introductio in Analysin infinitorum, art. 168; Lausanne, 1748.

vi PRÉFACE.

Mais une dizaine d'années plus tard, Euler (!) a déchiffré les énigmes des coefficients susdits en retrouvant, pour la seconde fois, les nombres de Bernoulli comme la partie essentielle des coefficients des séries de puissances qui représentent les fonctions trigonométriques méromorphes

otæ, ©! x = Eee Etc et cette fois il reconnaît expressément la priorité de Bernoulli, car il dit :

« ... vodeisti numeri, qui ab Inuentore Jacobo Bernoulho vocari solent Bernoulliani. .. »

Or, cette belle découverte d'Euler a été fatale pour le développement de la théorie des Nombres de Bernoulli, parce que sa grande autorité a poussé les géomètres à appliquer presque exclusivement dans les recherches sur ces nombres rationnels des méthodes transcendantes.

En effet, on a généralement rattaché les nombres de Bernoulh aux fonctions exponentielles et trigonométriques, de sorle que les résultats obtenus se présentent comme des conséquences des identités contenant de telles fonctions. Et l’on a si parfaitement oublié la formule récursive

SE ON | = n +I = eo na )B. (n=2Y,

(') /nstétutiones calculi differentialis, p. 420; Petrograd, 1739

PRÉFACE. VII que l’on attribue généralement à Moivre et à Jacobi la formule susdite, selon que » est pair ou impair, et l’on dit ordinairementque Moivre a trouvé la première formule récursive pour le calcul des Nombres de Bernoulli!

On a même poussé si loin la méthode transcendante qu’on s’en sert pour déduire, par des procédés assez compliqués, des formules récursives qui ne sont autre chose que des conséquences immédiates de la formule fondamentale de Bernoulli

n+1 n il n EL | Se + EE + DT ( À Barre

obtenues en attribuant simplement à p des valeurs spéciales, par exemple p = 2,4. C’est simplement pour mettre en pleine lumière l’absurdité de ce procédé que j'ai développé, dans le Chapitre VITE, un si grand nombre de formules de ce genre.

Or, il faut remarquer expressément que plusieurs des plus belles découvertes concernant les Nombres de Bernoulli sont obtenues par des méthodes parfaitement élémentaires, ce qui a lieu par exemple pour les formules récursivés incomplètes de von Éttingshausen (‘) et pour le théorème fondamental de von Staudt (?). Mais ces géomètres distingués ont prêché dans le désert, parce que l’on a appliqué, jusqu’à notre temps, la méthode transcendante.

Îl est, à ce point de vue, très regrettable que Gôüpel (*), en mentionnant le Livre de von Ettingshausen, ne dise rien sur les formules intéressantes que contient cet Ouvrage; autre-

(*) Verlesungen über hohere Mathematik, t. 1, p. 284-285 ; Vienne,

(2) Journal de Crelle, t. A, 1840; p. 372-374.

(®) Archiv de Grunert, t. 8, 1845; p. 65.

vi PRÉFACE.

ment on n'aurait certainement pas prêté à von Seidel (*) et à Stern (?) l'honneur d’avoir découvert les premières formules incomplètes de ce genre, un demi-siècle après la publication du Traité élémentaire de von Ettingshausen.

Et c’est la même chose pour beaucoup d’autres résultats concernant les Nombres de Bernoulli; citons par exemple les formules récursives incomplètes d’une forme entièrement différente, trouvées par van den Berg (*). Le Jahrbuch (*) ne cite aucun résultat exposé dans le Mémoire très remarquable du géomètre hollandais.

Généralement on peut dire que la plupart des géomètres qui se sont occupés des Nombres de Bernoulli n’ont pas étudié assez attentivement leurs prédécesseurs, ce qui amène des conséquences assez curieuses.

On lit, par exemple, dans un compte rendu de feu

M. Lampe (° ):

« Die allgemeine Herleitung der Formeln, durch welche S” und S;S,5,... als lineare Ausdrücke verschiedener S, (°) dargestellt werden, hat Referent im Journal für Mathematik 84, p. 270-272 gegeben.... Der Verfasser des vorliegenden Aufsatzes hat offenbar weder diese Verôffentlichungen noch andere auf den Gezenstand bezügliche kennen gelernt ».

Or, cette juste critique retombe en quelque mesure sur son

(*) Sütsungsberichte der Münchener Akademie, 1877, p- 164-165.

(?) Beiträge zur Theorie der Bernoullischen und Eulerschen Zahlen (Mémoires de la Société de Goettingue, 1878).

(*) Verslagen en mededeelingen der Koninlijke Akademie Amsterdam, 2° série, t. 16, 1881; p. 69.

(*) Jahrbuch über die fortschritte der Mathematik, t. 13, 1881; P: 193.

(5) Zbid., t. 38, 1907, p. 314.

(°) Les S; sont les sommes de puissances.

Te, 2

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