LIII. — Applications des fonctions ultrasphériques

Il est très intéressant, ce me semble, que les fonctions ultrasphériques de première espèce (!)

ONE ANNE SE I a :

(1) Pyr(x) = Eew("*) é ) (zyn-2s s n —Ss s—=0 =

donnent des formules récursives incomplètes, et pour les B, et pour les T,. |

En effet, la définition (1) donnera, après un simple calcul direct,

(2) D, PY2 (2) = 21 PYSbr A1 (x), (3) (n+1) Pati(x) = (av + n)x PYa(x) —(1— x?) D} PVr(>); soit ensuite, dans (3), æ ——1, il résulte TON P'art(— REV 1) ea LE eu 0 à ce qui donnera généralement ; ; \ DETTE EN 4 Pre = (— y 2 o (4) ns)

: Cela posé, on aura, en vertu de (2),

L pr PR)? LR ne PYEn=p(æ) D' P

d’où, en vertu de (4),

Pa LDE PAG ess Gipeerar (RP), P: \ P n—p

de sorte que nous aurons la série de Taylor

SR % Pres EN pus ES 2V+2n —S—1I\, à GPS CRE RSS ù Gæyis.

) Vorr mon Traité : 7'héort ons me 21 i LE té : Théorie des fonctions meétasphériques, P. 94-112. Paris,

CHAP. XI. — D'AUTRES FORMULES INCOMPLÈTES. 219 Les expressions PV) E Pvn(z — 1) étant déterminées à l’aide des formules (1)et (5), on voit que les coefficients des deux développements

Prn(æ) = Ù an,s(v) Ba-s(æ),

sS—=0

Pva(x) => bns(v)En-s(æ) S—0 sont déterminés, abstraction faite de ay 1 (v), coefficient qui exige des recherches spéciales.

Or, introduisons, dans les développements susdits, y — 1 au lieu de y, à +1 au lieu de », puis cherchons les dérivées par rapport à æ des deux membres des formules ainsi obtenues, il résulte, en vertu de (2), les formules récursives

(2v — 2) an,(9) = Any, (V —1), (2Y—2) Dn,s(v) = Op, (V — 1),

ce qui donnera finalement

(2v — 2) Pr(x)

$—=7n y An —S—92\ f2+2n—Ss—0 Es D En nue (n—s)!'onsB,.(x) À PERS SI S — L2 ui RSA EL à .

ESS > x Seue VAR }GR— asian Bas (æ), s Ve s—=0

S—n1 \ — $ — Ne MN à ae Dr QATAR TEE) entre, ie)

= EE

DOUTE °)C ee J(n—as)tarss Er (ae

Iutroduisons maintenant, dans ces deux formules, les valeurs numériques de x, mentionnées dans le paragraphe XVI, il résulte des formules récursives pour les B,, T,, E,, et ces formules sont remarquables, parce qu'elles contiennent le paramètre quelconque ».

Or, la valeur de P#(x) ne se présente sous forme simple que dans les deux cas x — 0 et x —— 1, il est évident que les formules récursives qui correspondent aux autres valeurs de x deviennent assez compliquées. C’est pourquoi nous nous bornerons à l'étude des deux cas susdits.

A cet effet, posons, dans (6) et ( mn}, x = 0, puis introduisons 27 au lieu de r, la dernière somme qui figure au second membre de chacune de ces deux formules disparaîtra, le dernier terme seulement exclu, de sorte que nous trouvons après une légère modification

Sr \ \

V+2n—25— 72 20 An—IS— 2 è (8) ; = hp à DS Br DIN —2S 25 +I

s—0 2V +2 — 2) =) 2n 2V + INR —]I {NE n—1 — (— 1) — 1) —(v— 1) ( ; OO it \ n

(9) > ( DUAL 2 20H 4{R—2$ —2\R \, DIRES EEENTE 2$ +I } n—Ss

Y+ 7 —I\ 2V+H2n—I 2 (HT) Leur +

Ces deux formules récursives deviennent incomplètes dans les deux cas suivants :

1y—=—p—+ -, où p désig sitif entier; dans s, nc =— } à où p designe un posilul entier; dans ce Cas, nous aurons nl LE mors à a + \ (AS PER NE LÉO TS TEE 2 te 2 DATES Fc \ DIT = 21S / Pr L n D ‘ —= (e == :) / » , > n £ P+1

= AR —2p—)25s—1\,.

de }Tns 2R—2$—1 Par

DESDESSS

fe a = a el è | T | LA | ARC

où 1l faut supposer 1 Sp=n—1, respectivement 1 DE 7.

Posons, dans (10), P—R—1, nous aurons la formule la plus simple de ce genre, savoir

2 TAC fa (12) D NH — 25 — :) (ae — Raja = (x -:) 2 3

ee NDS LUN OR 2S-2r" I > n

tandis que la formule (11) donnera, pour p=n—1, p—n respecuivement ,

Er | & n DR SG CET :

DEAN TNT CPE ) 2 (13) us + Se x) IS Res Le = 2 , s—0 \2Rn—925—1) on <n—i — "422 2 a ù 1 DE PE ne DR 251 2e = (14) à (— D a 2 ) re 22} pæ < 28 +1 = 0 EST n ; , : L RE x lésio 2° L'hypothèse y —— nr — q — = 1Sqg£n—1, où q désigne un

positif entier, donnera de même les deux formules incomplètes de

première espèce

eng = Là } 20 25 I ET 7 OS ne — TS Ne D (15) Ù CET) s }( 28 +I # ns BETA D N —2$ ;

ne DS ("+ SU