LII. — Applications des formules générales

Revenons maintenant aux formules générales (9) et (10) du para-

graphe XX VIII, savoir

(1) > (—1ÿ(nm+n—q—s)! Le 1)2 (?) — (— 1)" Re D ‘)| nine s=1 6 / S=w& PEN tP(aEgs)i(m—)!

RE QE SEM ner Eu Lt) , 20) L (2) Dn(men+g—s)!

X< [- AXE (a) ere olr ( é æ 2 fann 0;

valables pour les éléments de la base d’une suite régulière quelconque, et dans lesquelles les sommations aux premiers membres sont à étendre jusqu'à ce que les coefficients binomiaux qui y figurent s'évanouissent tous deux.

Il est évident que ces deux formules sont d’une généralité très étendue, de sorte qu’elles donnent un grand nombre des formules récursives incomplètes contenant les B, et les T,; nous nous bornerons à indiquer les plus simples de telles formules spéciales.

1° Soit

CT es Aon+1 = 0, (—r1)e1B;,

(or)rt et

A — 1, An —

la suite régulière correspondante est celle formée des fonctions de

Bernoulli.

216 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D'EULER. 2° Les hypothèses CO LEE an — 0; ë =

DT y (on +1)! 221+2

Aon+1 —

donnent la suite régulière formée des fonctions d'Euler.

Étudions tout d’abord la formule (2), où nous supposons g <C n, nous obtenons des formules récursives incomplètes de première espèce contenant les B, ou les T,.

Quant à la formule (1), où nous supposons g > o, elle donnera des formules incomplètes contenant les nombres de Bernoulli

D 3 . 3] à > B;, B>, B;, RO B}: B,+5+1, B,+5+2, 08,7 B,+5+4

ou les coefficients des tangentes aux mêmes indices. Je suppose que ces formules sont les mêmes que celles mentionnées par M. Haussner (!) comme appartenant à Saalschütz (2). Soit g —0, nous obtenons les formules de Saalschütz que nous avons développées d’un autre point de vue dans le paragraphe XELW ; ces formules sont du reste trouvées presque en même temps par Hermite (?).

3° Posons

[l do = > —P:, a As (Same Ba SA 2 ES (2n +1)!

À MUNIE CSA =

> (an +3)

la suite régulière correspondant avec l'élément général

1\ 4 | REN = (2 __ < RÉPÉDEN CECI 2),

ar C

4° Soit de même

(1) T5 5 (— D'HT,., La: 9 = ————————————— CRÉEZ PEN en) tent

Ain —=

(') Gôttinger Nachrichten, 1893, p. 578.

(°) Physikalisch-ôkonom. Gesellschaft zu Kôniesberg, p. 189. Ce Mémoite n’est pas mentionné dans le Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik.

(°) Mathesis, »° série, t. 5, suppl., Il, 1895, p. 1-7

nous aurons

1 = s " Ha) (+2) En41(æ) — (n+2)Enta(r). !

On voit que les formules récursives incomplètes obtenues dans ces cas sont plus compliquées que celles obtenues dans les cas précédents.

Quant aux formules générales (5) et (6) du paragraphe XX VIH,

S=1] : D EE il = lasxm+n-s+1 CS ro) = gs) (nm qg'assz pe (g—s)!'(m+n—s+:)!

$=0 #=m—( \ VOTES 9 ù as CAT si) ; Cnby es Die) 5=,0 S=m+q ST q +Ss / She ART ENT: N rss 114 = Tee (an) COLE C2 s)!( À Jan-rrsænt s,

où nous avons posé

CE) — Cf) mg + star Ter) (OSE70) Ss=0 :

. - 78) ! RATE (6) G(a)= À ny (À) Con + 9 + s)127 fu(r) CO ET) S=—=0

tandis que [ f(x), &,] est une suite harmonique quelconque, elles donnent aussi un grand nombre de formules récursives incomplètes

parmi lesquelles nous mentionnons les suivantes :

5 AR EIB (Gr) Er) HAN) DES gr 2 4 1

GO fa(æ)=Eu(r) æ=—2

On voit du reste que les formules ainsi obtenues deviennent plus

compliquées que les précédentes.

. % DE “4 À k DS > " Fe CR 218 DEUXIÈME PARTIF, — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D'EULER.