A LP NRA D AN TR EE

+ Jo Sen =) sS=0

En effet, soit p — 1, la formule (12) est une conséquence immédiate de la définition (2); appliquons ensuite l'identité

AP DAC £a s) — Ap-s Cf (R Li s) Je AUSSE A L—S—K),

urée directement de la définition (6), lx conclusion de nr à » +1rest évidente, en vertu de la formule numérique (8).

Quant à l’étude plus ample de la différence d’un ordre quelconque, du polynome f(x), défini par la formule (1), nous dévelop-

pons, conformément à la formule de Taylor, la fonction f(x — 1). SOI

(5310) Af(x)=birtt+ bien +. br +b,.

CHAP. IT. — DU CALCUL AUX DIFFÉRENCES FINIES. f15) il résulte par conséquent,

(a— p) (M) be a, PTE LV Ce a er \ AE P ): am à — P À RE)

d’où particulièrement

(15) by — na,

ce qui donnera

(16) Afin fur), de sorte que nous aurons

(17) APf(x)=fr(xz)=0 (p>n).

Cela posé, je dis que les formules (3) et (12) se présentent sous cette autre forme plus générale

sS=7r

à & DAERE (18) AP f(x) = (1) (Pris) 5—0 (19) Harm=> (? DEP

* La généralisation susdite de la formule (5) est évidente, parce que les coefficients binomiaux qui figurent au second membre s’évanouiront pour s = p.

Quant à la formule (19), soit tout d’abord p — », la formule en question peut être obtenue directement de (12) en y posant x +p au lieu de x; soit ensuite p < n, les coefficients binomiaux qui figurent au second membre s’évanouiront pour $ >p. Soit, en dernier lieu, p >n, les différences de f(x+s) s’évanouiront pour s > 7.

On déduira de la même manière ces deux formules plus g vénérales

encore : .

(21) af) Ÿ (=? (Pers), s=0

(22) es +-s),

où il faut supposer m UT

Dans le paragraphe VIII nous aurons à généraliser beaucoup la formule (22).

Posons pour abréger

(23) NEC) ENCORE nous aurons, en vertu de (5), - s—=p (24) Ae)= D (?) ep sr, $—=0

ou, ce qui est la même chose,

sS—0n

n es Ÿ $ P { L de —— Qi /L (25) ae) = Ÿ ax?) Ce + s) (= pe

Cela posé, nous aurons, quelle que soit la variable x,

(26) Aer

(27) - Li (r) —=0 (PR).

Soil æ — 0, nous posons pour abréger

S—=p—1 Ne n es Ÿ == 1 1 ee n (28) ap= ago) À Cx(P)c—s, S—0 ce qui donnera (29) bp (— p)=(— 1)7+P V7.

Les nombres 4” sont introduits dans l'Analyse par Euler (!) et étudiés plus tard par plusieurs géomètres; nous nous bornerons à citer Laplace (?) et Grunert (#).

L'introduction des 4” nous permet de donner sous forme simple l'expression explicite de la différence quelconque d’un polynome entier. En effet, développons, conformément à la formule de Taylor,

(") /nstitutiones calculi differentialis, p. 485-486. Petrograd, 1955. (°) Mémoires de l’Académie des Sciences, 1577 (1780), p. 99-122. (°) Mathematische Abhandlungen, p. 67-92. Altona, 1822.

ie. db

CHAP. Il. — DU CALCUL AUX DIFFÉRENCES FINIES. 17

le terme sommatoire qui figure au second membré de (7), il résulte

q=n fax —s) = TE 02):

introduisons ensuite, dans (= ), les expressions ainsi obtenues, puis

ordonnons d’après les f() 7 ), nous aurons

(30) Ar) à re (æ).

sS=0

Introduisons maintenant, dans (30), les développements