V. — L'opération A

Soil

(1) TRI ane air ar + a;

un polynome du degré » par rapport à æ, la différence du premner ordre de f (x) est définie par l'expression 2) APE SM TE),

de sorte que nous aurons immédiatement, en désignant par @& et b des constantes quelconques, tandis que (x) est un autre polynome

entier, (3) NPA AT); (4) Afa f(r) + be(x)] = aA f(x) +b Ae(r);

c'est-à-dire que l’opération A est distributive. De la différence du premier ordre, on forme la différence du

second ordre, à l’aide de l’expression (5) A f(x)=A/f(x)—Af(zæ —:1),

et ainsi de suite; de la différence de l’ordre p — 1 on forme celle

du p*"* ordre par l'expression

(6) NPC) NEA (x) NEA T( 2 = 1).

Cela posé, il est très facile de démontrer la formule générale s=p (G) ape) fl) fes) CN)

qui n’est, pour p — 1, autre chose que la définition (2). Supposons

14 PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS. maintenant vraie la formule (1), puis posons + —1 au lieu de x, nous aurons, en soustrayant les deux formules ainsi obtenues, et en appliquant la relation bien connue

Pp (? + I\ (8) (CE CMECSSE \S STE Me mo

une expression analogue pour APR ACT Appliquons ensuite la formule

NES # sr

(9) CD A rs

s=:0 * la formule (5) se présente sous cette autre forme

| s=p—t1 (10) AP f(x + p)= D Œw(f) [f(x + p —s) — fix)].

Posons pour abréger (ur) ; NON AAA)

nous aurons Comme inversion de (5)

SD =p