LXII. — D’autres théorèmes de von Staudt
Le dénominateur bernoullien b, est à désigner comme une foncuon numérique bien définie, quoiqu'il n’est pas possible d'indiquer son expression générale, parce que nous ne connaissons dès à présent l'ensemble
(1) À, À», À3, ..., Ày, des nombres premiers du rang A.
Quant au numérateur bernoullien &,, ce nombre semble être beaucoup plus compliqué que b,, et c'est la même chose pour le nombre entier À, qui figure dans la formule fondamentale
11 I (2) (—iPBr=An+ ++ +... + —.
2 A1 AE) hy,
Le théorème IT du paragraphe précédent indique une propriété générale du numérateur bernoullien 4,; une autre propriété de a, est exprimée par le théorème suivant, où nous avons remplacé y,
par y simplement :
I. Le numérateur bernoullien du rang a, satisfait toujours à la congruence :
(1) Var (1) (hat)... (hy—1)
(LS a — Le — ) > CAT I—r) (RAI — 1)... (AS Cr
(mod à, ).
Il est très intéressant, ce me semble, que le second membre de (3) ne dépend que des nombres premiers du rang n.
Quant à la démonstration de la congruence susdite, elle peut être déduite de la formule fondamentale (2). Or, nous ne nous arrêtons pas à une telle déduction du théorème 1, parce que la congruence en question se présente comme une conséquence immédiate d’une autre formule générale, nous le verrons dans le paragraphe LXX VII.
Quant aux deux nombres &, et b,, von Staudt a découvert une autre congruence, que nous avons à généraliser un peu.
A cet effet, nous prenons pour point de départ la formule de
art
Jacques Bernoulli, écrite sous la forme suivante :
(an +1)S2n(@ —1)
Sr
il > 2n +1) Æ — qa?2n+1 — ( ste ) a? + ET a 4 ) B,a?- 25+1 ; > 2
SA
soit ensuite & — 4, nous aurons par conséquent
d 2 +I (4) (ir i(on +1)S:»(3) = 4(2n +1)B, — 61( 3 ) Br 512K,
où Æ désigne un nombre rationnel, dont le dénominateur est impair. Posons ensuite, dans (4),
An-1 Br — > LÉ — , 20n-1
pus multiplions par b, les deux membres de la formule en question, il résulte la congruence
AnN?— 1 ay10}
(51) (2 +I)Aan—167 S ni
— —lf{c En zu CPR = Use 22n + 32) (mod 256).
Soit maintenant 7 un nombre pair, savoir » = 2m, et soit m2, nous aurons, en vertu de (5), en divisant par 27 +1,
1 gén (6) ne Sr 2 (mod 32).
Or, la formule binomiale donnera 340 — (1— fn 1 — 48m (mod 64); c'est-à-dire que la congruence (6) deviendra Aim= (24 M —1)bom (mod 32) ou, ce qui est la même chose, (7) Aam + (SM +1)boy == 0 (mod 3) (mo).
Quant au cas exelu » — 1, on aura
ce qui donnera da + db; = 16,
savoir la congruence (8) A2 + bo = 0 (mod 8).
Étudions ensuite le cas où n est un nombre impair, savoir RM EI (=),
il résulte, en vertu de (5),
T2 3272-72) 9) À 9 pn+1 = 16 = ———————— (mod 32 je à 2)
\ dans ce cas, la formule binomiale donnera GAP (1 — 4) 9 + Bot (mod 64 ), d’où, en vertu de (9), domi = (21+ 40m )bD2»+1 (mod 32) ou, ce qui est la même chose, (10) ami (SM —11)0sm+1 = 0 (mod 32).
Quant au cas exclu ne — 0, on trouvera directement
I 6] Bi => FRE DRE" ce qui donnera
(un) + b1=0 (mod 4).
Cela posé, nous avons démontré le théorème suivant :
IT. Soit m1, les deux nombres a, et b, satisfont aux con-
gTruences \ dam+i — (8Mm—11)bant1= 0 (mod 32),
l Aom+2 = (8m +1)Damrs = 0 (mod 32).
Appliquons ensuite la congruence spéciale (8), il résulte Les deux
256 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D'EULER. congruences dues à von Staudt (‘)
{ Go m + V2m = 0 (mod 8).
122 | aim+1 + 3 02m+1= 0 (mod 8), où il faut supposer m21.
On voit du reste que les congruences de von Staudt se présentent
sous cette autre forme plus élégante, mais moins générale, (14) an+(—1)tbn=0ù (mod) (TOREN
Revenons maintenant à la formule fondamentale (2), que nous écrirons sous la forme
(15) (—i)Bi= Ant = + —, >
le numérateur 4, est évidemment la somme des y, produits formés de v,— 1 facteurs inégaux pris parmi les y, nombres premiers du rang A.
Supposons ensuite que s parmi les nombres premiers du rang »
soient de la forme 4m +1, + de la forme 4m+-3, de sorte que nous aurons SH T— Va,
il nous reste à étudier séparément les deux cas suivants :
1° rest un nombre pair, ce qui donnera
(16) bn—4K +1,
tandis que d, contient précisément 5 termes de la forme HUE, obtenus en supprimant un des nombres premiers de la même forme, et + termes de la forme 4u—+3, obtenus en supprimant un des nombres premiers de la même forme; c’est-à-dire que nous aurons
(17) du=sd +3T=vn+oi=v (mod 4).
2° + est un nombre impair; dans ce cas nous aurons (18) DUREE, tandis que d, contient s termes de la forme Au +3 et x termes de la “,
(") De numeris Bernoullianis commentatio altera. Erlangue, 1845.
hi
forme 4u + 1, de sorte que nous aurons ici (19) dn=35 +rT=vVy+ 20 = 0 — y, (mod 4); car le nombre est impair.
Cela posé, la formule (15), écrite sous la forme
(— ta, L'e4.d2 + 20,
donnera immédiatement
din I don = += = An+I- , 202n 2 UE don +1 3 donna (5 Sri = Aonri—1+ ——; 202n+1 2 Drn+:
de sorte que nous aurons, en vertu de (13), (20) Anbn+(—1)bn+dn=0 (mod 4), où 1l faut supposer x > 7.
Soit maintenant + un nombre pair, 1l résulte, en vertu de (16) ] ? ? / et (17), ( 21) APE (— Da (— Tr) T1 (mod #) tandis que l'hypothèse + impair donnera, en vertu de (18) et (19), —A,;+(—i)1+2—Vy,=0 (mod 4) ou, ce qui est la même chose,
(22) An+Vn=2—(—i)t=(— 141 (mod 4).
Cela posé, nous aurons, en veriu de (21) et (22), le théorème déduit par Stern (!) à l’aide d’une longue suite de congruences
compliquées >
HI. Le nombre entier À, qui figure dans la formule fondamentale de von Staudt et le nombre v, des nombres premiers du
(:) Journal de Crelle, t. 81, 1856, p. 290-291.
NIELS NIELSEN
rang n salisfont à la congruence (56) Ant+Vn=(—1)"# 1 (mod 4).
On voit que le théorème [IT donnera immédiatement cet autre,
dû à von Staudt (!) :
