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où &, et b, sont le numérateur, respectivement le dénominateur bernoullien du rang #7, puis supposons que l'indice x soit de la forme a"(a —1) NE) 2,

où «a désigne un nombre premier, nous aurons où & — 2, où & sera un nombre premier du rang ». Dans ce dernier cas, le dénominateur qui figure au second membre de (13) est divisible précisément par æ’t!; supposons ensuite que p ne soit pas divisible par 4, nous aurons la congruence

(14) pua-D—1=0o (mod aY+!)

due à Euler (?).

Soit maintenant 4 un nombre premier impair, mais quelconque du reste, il existe toujours des positifs entiers p, non divisibles par &, tels que la congruence

Ge) p—1=0 (mod «)

n'est possible que dans le cas où & est un nombre premier du

(:) Niedere Zahlentheorie, 1. ?, p. 31. Leipzig, 1910. P ; À RD = (2?) Nov Commentarit Academiæ Petropolitanæ, t. 8, 1700-1561 (1 763),

rang /i, SAVOIr (16) 2n —0 (mod p — 1).

Les nombres p qui possèdent la propriété susdite sont désignés comme des racines primitives modulo @.

Supposons maintenant que l'indice » contienne le facteur premier & qui n'est pas du rang », puis choisissons p comme une racine primitive modulo 4, la formule (13) donnera immédiatement

Any — 0 (mod &), c’est-à-dire que nous avons démontré le théorème de von Staudt DH 1 Supposons que l'indice n soit de la forme (ge no TD — nn;

où tous les facteurs premiers de's,, abstraction faite du nombre premier 2 peut-être, sont du rang n, tandis que le nombre impair B, est premier avec 4h, le numérateur bernoullien du rang n satisfait à la congruence

(18) An—0 (mod B,).

Adams (*), dans sa calculation des 62 premiers nombres de Bernoulli, a retrouvé empiriquement le théorème susdit, sans pouvoir le démontrer.

Désignons maintenant par p et q des nombres entiers, puis posons

: S À 22—1)(g2—1)B (19) On(pP; DNUPE N ER Rt ER : 27t

Lipschitz (*) à démontré que 3,(p, q) est un nombre entier, pourvu que p et q soient sans diviseur commun.

Or, c'est une conséquence immédiate du théorème I que ox(p,q)

est toujours un nombre entier, pourvu que le plus grand diviseur Le commun de p et q soit premier à 2 b,.

!) De numeris Bernoullianis commentatio, Erlangue, 1845.

(3) (*) The Scientific Papers of Johan Couch Adams, t. 1, p. 450. Cambridge, 1896. (*) Journal de Crelle, t. 96, 1884, p. 3.