DER RES

ce qui donnera, en vertu de (1), À note (3) în= 922 ?

il résulte ces deux autres théorèmes qui semblent être donnés

(*) De numeris Bernoullianis commentatio. Erlaague, 1845. (?) Znstitutiones calculi differentialis, p. 495 (Petrograd, 1755); Opuscula ec 9 2=3 ty Û £:

analytica, LU *, p. 279 (Petrograd, 1785). Comparez la remarque de Stern (Journal de Crelle, t. 88, 1880, p. gx).

CHAP. XIIL. — DE LA NATURE DES NOMBRES DE BERNOULLI. 259 explicitement par Worpitzky CU

Il. Le nombre entier t, est divisible par tous les diviseurs imoairs de l'indice n.

HI. Soit l'indice n de la forme (4) DRE 1) pe),

nous aurons LouJours (5) Th= 222-P-2(2Q +1).

Remarquons, en passant, que la formule (28) du paragraphe X VIII donnera une expression directe du nombre {,, savoir

k DANCE (4) tn = En — > ( }ars BE,

Quant à la nature des coefficients des tangentes, les formules récursives (13) et (15) du paragraphe XXXVIIL, savoir

S—=n—1 > ee D( 21 Es 1) 328, —(—1)2(2 — 3211), À 2 s—0 ; ST 1 D ( oo) Tres Tri 5 En — (1) 4 (BU — 2) S—=0

donnent des éclaircissements intéressants.

En effet, on aura immédiatement les deux congruences

{| Th=(—1)*2 (mod 9) Robe

(7) | T,=—1—(—1)#2 (mod 5) (ren)

tandis que nous aurons particulièrement, pour 7 —1,

(8) T,=—2 (mod 3),

ce qui donnera le théorème :

(1) Journal de Crelle, t. 94, 1883, p. 203-239,

260 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D'EULER. IV. Les coefficients des tangentes se présentent sous la forme

(9) Ton = 22(30 À +1), (10) To, = 904 + 2,

el pourvu queen 1,

(11) Ton = 180 / + 92, où h, k, L, désignent des entiers non négatifs.

En effet, les congruences (5) montrent clairement que T,, est un nombre de la forme 45m, ce qui donnera (10), parce que T,, est un nombre pair. Soit ensuite » >> 1, T,, est divisible par 4; c’est-à-dire que le nombre Æ doit être impair, et nous trouvons l'expression (11).

Quant à To»,,, on aura immédiatement, en vertu de (=),

(12) Toni = 10 +1.

Or Tops étant un nombre de la forme 2'*(24 +1), on aura, en

vertu de (12), pourvu que n221,:

151 +1—=0 (mod 16), ce qui donnera

UT ET, 15 +1=16(15m1 +1), et ainsi de suite.

Etudions maintenant les nombres d'Euler; les formules récur-

sives (11), (15) et (30) du paragraphe XX XIX, savoir :

S=n—1 NOTE EN ReS > a (7 )B ne Cp (arret = gen), ÉDITL A ARE LS D ŒUE 2e JE Eu = 5Tu+ (—1)e(3 — an -t)an, S=0 S=n—|!

Fe x Éè è 2n ee —1}2 (an+i1)E,—+ > CHER een S=1 5 donnent les congruences (13) En (—i)t2=(—i)t#i (mod 3), (G) Es (i(- 1413 «(mod5),

(15) (2n+1)En=(—1)t (mod 4).

On voit du reste que (15) se présente sous cette autre forme plus élégante

(16) B,—1 (mod 4);

celte congruence est due à Sylvester (!)..

à 7 . AT a x Cela posé, nous aurons immédiatement ce théorème, analogue au précédent :