TS

0,=n! Le = Æ }— Bu (o)]

\ Ur

satisfont à la congruence

(5) De 1) (a Qyrosu = 0 (mod p} },

où est le positif entier le plus grand qui satisfasse aux conditions (6) À <y, AESTTe

En effet, prenons par exemple pour point de départ la première des deux formules générales que nous venons d'indiquer, 1l résulte une expression de la forme

(7) o,= d'k(a, y) L? (men),

où les Æ,(@, y) désignent des fractions irréductibles qui sont indépendantes du nombre », et dont les dénominateurs ne contiennent d’autres facteurs premiers que ceux qui divisent y.

Appliquons ensuite la formule (5) du paragraphe LXIV, nous aurons

=" S=T71 & er()ouaus Yrtanis=0 (mod ph, S—0 s=1

ce qui est précisément la congruence (5); et l’on voit du reste que le nombre arbitraire 7» est à choisir tel quemz?n+oru.

: ; œ A à Posons maintenant, dans (4), =; puis = à la place de , et

soustrayons ensuite les deux équations ainsi obtenues, il résulte une expression de la forme

(9) nlEn(—E)= Yu nat (nr),

ga

où les /,(%, 7) sont des fractions irréductibles. qui ne dépendent pas du nombre », et dont les dénominateurs ne contiennent d’autres facteurs premiers que ceux qui divisent Y:

"a » * ü x Cela posé, nous aurons cet autre théorème, analogue à 1 :

IL. Supposons remplies les conditions indiquées dans le théorème 1, les nombres rationnels

< (e à ! 1! A (10) GRAUE; (- =)

(11) de 1)s ( h Ohpoçu = 0 (mod pà).

Il est digne de remarque que les nombres rationnels Q,, définis par la formule (4), jouent un rôle fondamental dans nos recherches

suivantes sur les résidus quadratiques

LXVI. — Des coefficients des tangentes et des nombres d’Euler.

Il est évident que les deux théorèmes généraux, que nous venons de démontrer dans le paragraphe précédent, conduiront à plusieurs applications très intéressantes.

En premier lieu, posons, dans la formule (4) du paragraphe LXV,