LXV. — Applications sur les fonctions de Bernoulli
Pour donner une application intéressante des théorèmes généraux que nous venons de démontrer, nous prenons pour point de départ ou la formule (4) du paragraphe LVI, savoir
S—"N N T+S n'[Br41(T) — Brv(o)] =) ins ( Re }-ve (DER); \ sS=1
ou la formule (3) du paragraphe LVIIT, savoir
$S=n , ; T+S : - ‘ n![Brri(x) — BrH1(0)] = (— pur N D RRENC (=): md \ M +1: ; ù ;
SA
Posons ensuite, dans ces formules, (1) T=— -;
où get y désignent des positifs entiers sans diviseur commun, nous avons tout d’abord à étudier le coefficient binomial
un Le A
(2 ie Pa To B’
Pr désigne un positif entier quelconque, tandis que la fraction qui figure au second membre est irréductible. Ces définitions adoptées, je dis que le dénominateur ne peut contenir d’autres facteurs premiers que ceux qui divisent +.
En effet, il résulte, en vertu de Go),
soit ensuite p un nombre premier égal à 7° au plus, qui ne divise pas y, et soit p7 une puissance de p égale à r au plus, nous aurons
r = ap1+ b (A2: 0<D= pt 1).
Cela posé, il est évident que les &« multiples de p7 PES COS SO EN
se trouvent parmi les posiufs entiers de 1 à r. Etudions maintenant l’équation indéterminée du premier degré
—YTÈE2=pIY,
cette équation admet des solutions entières de x et y, parce que y et p{ sont sans diviseur commun; soit ensuite æ, la valeur de # qui satisfait à la condition
O£=æZi=pl—1,
une valeur quelconque de x se présente sous la forme
TA Te ET
où s désigne un entier quelconque; c’est-à-dire que le numérateur de la fraction qui figure au second membre de (3) contient précisé
ment comme facteurs les &« multiples de p7
LE a—7y(æ + spl) (o£s<a—1),
Ces résultats obtenus, il est évident que la puissance p{ disparaîtra dans la fraction irréducetible qui figure au second membre de (2), de sorte que B ne peut contenir d’autres facteurs premiers que ceux qui divisent y.
Cela posé, il est facile de démontrer le théorème suivant, essen-
tiel dans nos recherches sur les nombres B,, T,, E, :
I. Désignons par 4 et y des positifs entiers sans diviseur commun, par p un nombre premier du rang p qui ne divise pas y, et par net y des positifs entrers quelconques, les nombres rationnels
