IA
(2) À<on—1, }
Remplaçons, dans (1), le module b, par p—2}+71, supposé premier, la congruence ainsi obtenue est due à Stern (°). En second lieu, posons, dans la formule générale (4) du para-
graphe LXV,
puis posons 27 au heu de x, nous aurons
(—1)2 E; LS CITES Pl
u a Mal x
(5h) DE: su F Entsu= 0 (mod bé),
s—0 ÿ où 1l faut supposer à la fois (4) À<o2n, NT
Remplaçons, dans (3), le module b, par p—2u<+1, supposé premier, la congruence ainsi obtenue est due à Kummer (?).
Appliquons maintenant la congruence (21) du paragraphe LXIV, nous aurons, en vertu de (1) et (3),
L ea Le n+su Re NUE (5) 2 1) je ) ( . Trrsu= 0 (mod pr 4), x a r n+Ssu (6) Cire ) ( re ) Ey+su = 0 (mod Àx—q)
où Pp désigne un nombre premier du rang u, et où il faut supposer JANET D.
Soit encore, dans (1) et (3), 7 —1, il résulte les congruences spéciales |
(7) Enru=(—18E, (mod by), (8) Tru = (—1)T, (mod by),
(*) Journal de Crelle, t. 88, 1880, RAGE
CHAP. XIV. — LES CONGRUENCES DE KUMMER. 271 ) x d’où, en supposant 7 = 1,
(9) Tux = Eur = (— 1}4 (mod by);
cette dernière congruence qui correspond à Ty a été observée par Saalschütz (!).
Remarquons, en passant, que les deux formules numériques S== 7e 22H on (mn) = (2m +1) + — 1} (77 (om LiprsE, are) Di ) Se (2m +1) E,, SE
QG 4 (Qn) — (2 nm -+ 1)24+1
V ÉANELR 2n-25+1 [1 } + D (—:1) (2m +1}? Es—(—i)rtaT,, S—=1
urées directement des formules (2) du paragraphe XVIL et (21) du paragraphe XXXVI, et où rm» et n désignent des positifs entiers quelconques, conduiront sans peine aux congruences (1) et (3).
En effet, nous aurons
(10) 22H16, (m)=(—1)"E, (mod 2m +1),
(11) 22 Gon+i(Mm)=(—i1)MHI IT, (mod 2m +1),
ce qui conduira immédiatement au but, si nous posons
2Mm+1= 0.
Nous avons encore à appliquer la congruence (10) pour déduire une propriété intéressante des nombres d'Euler. À cet elfet, posons, conformément à la formule (5) du paragraphe XXX VI,
1—(—1)#= 20(m) = D (—ai}ns, s—1 il résulte, en vertu de (10), s=m (12) Di) (in 2 Ù in [1 (25)#"] (mod 2m +1).
Cela posé, divisons en deux parties l’ensemble des nombres pre-
miers du rang À; Xe, À3, …. À;
(1) Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, p. 165. Berlin, 1803.
SAVOIL
A A ee X—=4a+r, DER KR Pate Xs=4a+3, 1£s=£r, de sorte que nous aurons GET—=Vy.
Posons ensuite pour abréger « 1 3) Loir due D { " - | Tr = D Len re UE
de sorte que nous aurons, pour le dénominateur bernoullien du
rang 7, (14) Goes Introduisons ensuite, dans (12), (15) 2m +1—= Ü,, puis désignons par p un nombre premier du rang », de sorte que (16) br — pq,
nous aurons évidemment
On M = — =p
‘c’est-à-dire que l’ensemble des m positifs entiers DD HO ee De rie
contient précisément les multiples suivants de P
Cela posé, nous aurons, en vertu de (12)
(17) Cr) CAE à (— rs (mod p}) SL
ou, ce qui est la même chose,
(18) L—(—i)t— (— EE, — Cine (I).
Soit maintenant, en premier lieu, ba= a +i, NU—=0)A,
les deux nombres p et g sont, en vertu de (16), en même temps de
x /\ x \ . n'ac ù = la forme 4v+-1 ou de la forme 4y + 3; c’est-à-dire que nous aurons, en vertu de (18),
(19) | Ex=0 (mod pp), Dur | Es=(—1)t2 (mod p), p=ûr+ 3; En second lieu, soit
les deux nombres p + 2 et 4 sont en même temps de la forme 4r+1 ou de la forme 47 +53, ce qui donnera, en vertu de (18),
»— ("En 200 (2 ) (mod p);
c'est-à-dire que les congruences (19) sont valables dans ce cas aussi, de sorte que nous aurons le théorème, nouveau, je le pense :
I. Soient k, et l, les deux facteurs complémentaires du dénominateur bernoullien du rang n, définis par les expressions (13), les nombres d'Euler satisfont aux deux congruences
| E,=0 (mod Æ»),
| E,=(—1)"2 (mod 4).
Soit particulièrement p—2n +1 un nombre premier, nous aurons par conséquent pour 7 pair, Savoir 2 — 2, (21) Esm—0 (modp} DENT tandis que l'hypothèse n — 2 m +1 donnera (22) re (node) P—= Km ES.
Ces deux congruences spéciales sont indiquées par M. Ely ()
e SE NL + 2 chose curieuse, cét auteur semble croire que la congruence (3 de Kummer est due à Lucas.
() American Journal of Mathematics, t. 5, 1880, p. 34r.
NIELS NIELSEN 18
? a 274 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D EULER-
Il saute aux yeux que notre méthode générale est en défaut quand il s’agit de déterminer les exposants k et ? qui figurent dans les
eongruences s—7
(28) De 1)S+st ta Th+su= 0 (mod 2#), es
(24) D — 1)S+Sb Er Er+su= 0 (mod 2/).
Stern (!) a essayé, le premier, de déterminer ces deux exposants k et { qui correspondent à u — 2; cependant, il applique des séries divergentes, et il est très curieux, ce me semble, que cette ancienne méthode classique ait conduit, dans ce cas, à des résultats parfaitement faux. La méthode donnera, en effet, le résultat surprenant que les nombres d'Euler sont des nombres pairs!
Saalschütz (2) a observé que le résultat susdit de Stern relatif aux coefficients des tangentes est inexact. Néanmoins, feu M. Bachmann (#), dans son beau Livre sur la Théorie des Nombres, donne le développement de Stern, sans réservations, et il ne me semble pas sûr que Bachmann () ait détourné les difficultés en question, dans sa Note récente.
De plus, c'est une conséquence immédiate des recherches récentes de feu M. Frobenins (5) et de M. Haussner (©) que les résultats de Stern relatifs aux nombres d'Euler sont faux aussi.
Or, les congruences susdites ne jouent aucun rôle dans nos recherches suivantes; de plus, on n’a pas réussi à déterminer exactement les exposants Æ et /, mais à donner certaines limites inférieures. C’est pourquoi nous nous bornons à renvoyer le lecteur aux deux Mémoires susdits et à une petite Note plus récente de M. Lôchte Jensen (7).
1) Journal de Crelle, t. T9, 1875, p. 67-98.
?) Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, p. 164. Berlin, 1893.
(7) (*) c (°) Niedere Zahlentheorie, t. IL, p. 4o. Leipzig, 1910.
(*) Archie de Grunert, 3° série, t. 16, 1910, p. 363-3065,
(D) (oh) (02)
A Berliner Sitzungsberichte, 1910, p. Sog-847.
‘) Leipziger Sitsungsberichte, t. 62, 1910, p. 356-418. ulletin de l'Académie Royale des Sciences de Danemark, 1915, p. 321-33r
. LXVII. — Des nombres de Bernoulli.
Introduisons maintenant, dans la formule fondamentale (5) du
paragraphe LXV, »7— 1 à la place de », puis posons successivement
