VI. opération à
Dans nos recherches suivantes, les opérations
(1) DACNENTTIAE JL); &) de f(æ) = dP-1 f(æ) + dP-1 f(x —1)
jouent un rôle analogue à celui des opérations 47, étudiées dans le paragraphe précédent.
On voit que l'opération à est distributive; de plus, on trouvera
NIELS NIELSEN 2
18 PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS. ici les deux relations, inverses l’une de l’autre
(3) =D, (P fes),
(4) OD P)Br-s fes)
et 1l saute aux yeux que la première de ces deux formules se présente aussi sous cette autre forme
(G). fie+p)=
ei LR EP EEE
La formule (3) se présente, en vertu des remarques faites relativement aux formules (7) et (12) du paragraphe V, sous la forme plus générale
St
Fr (ANNE; 2722 (6) dPJ(x) DA f(x—Ss), (m2p),
tandis que la formule (4) n'est pas susceptible à une telle généralisation, parce que les expressions à? f(x) sont toujours, quel que soit l'indice p, des polynomes du degré 7 par rapport à +.
Posons
re Jr) hat b, er, Spb tee,
nous aurons, en vertu de la formule de Taylor, #
fun (1)
by= ay + (n—q) ce qui donnera î bou, (8 S=4q ) | Loin RT Ag—s$:
lame: + 4 = nf, À 4 a x ù A ue analogie de la fonction L; (2), étudiée dans le paragraphe précédent, deviendra ici
(9) Ap(æ)= ÔP(æ + p}r,
savoir
= #2 > (Peer sy
(10) An(æ) =
ou, plus généralement,
(11) Ap(æx) => (Pc psy (m2p).
Soit Z — 0, nous posons pour abréger
(2) ap=ag(o)= À (P)co—sy, ce qui donnera x (13) A, (—p)=(—1)"A}?,
et particulièrement Pour == 0 (14) AP = 2P.
L'introduction des nombres A7 nous permet de donner, sous une forme simple, l'expression explicite de 6? f(x); la méthode appliquée dans le paragraphe précédent donnera, en effet,
Sp NEA; r(s) (15) RE )= D EU).
= 0 Posons ensuite (16) SP (a) = DB, sx=0
il résulte finalement, en vertu de (15),
à În—s+r (17) B=Y Ci rare Jas-rAÿ.
Ve) 0 s Supposons donnés dès à présent les coefficients Br de CP (Er), — âtre r 6 à : > récursive la formule (17) peut être regardée comme une formule récursive
pour le calcul successif des A7.
