LXXIV. — D'autres développements

Il est évident que les nombreuses expressions que nous venons de développer, dans nos recherches précédentes, pour les B,(x) et les E,(x), donnent des développements correspondants pour les sommes de puissances que nous avons étudiées dans le paragraphe précédent.

Or, nous nous bornerons à étudier les plus simples des sommes en question, savoir les S, (Pp) et les sx (p).

En premier lieu, appliquons les formules (5) et (6) du paragraphe X VIT, il résulte respectivement

: Nr (1) San (p)= EX DT (p?+ p}isc1, S—0 SU 2) Sn(p)= p(p+1) Ÿ Les

Zi 2?S+l s—=0

(P?+ p ISLE

où il faut supposer x 1, et où nous avons posé pour abréger

An,0 = 1, MS

“ n È \ 3 nm +I Q D—T+I 21 + 2\ 3 (3) En,s = D (— y ( ) (227—9})B, s nl SET SUR, 4 r=1 Ba,o = }, d'=S (4 n mr an ) Br L NŸ (— 1)" Be S ad S—y" Ja \er 1 =

les formules (9) et (10) du paragraphe susdit donnent de même

/ P+N (p+s) ser à 2 NT (22 — 25 +0 = (Dh) Spn(p) = N ( SE lame pa + Dyn-s-t (22 +1)(2n2 +2) nd 22s ?

$S=0 DEC 2 NY(272—25+2)6 ; —j}a+pT (Gus Ne en ONU TRS RE 2 a mn a en (6) Sin+i(p) D Ci isa (p?2+ p}t De S=0

CHAP. XVI. — LES SOMMES DE PUISSANCES. 3o1

La formule (1) est indiquée par Jacobi (!), tandis que Prouhet(?) a démontré la formule correspondante (5); remarquons en passant que ces deux formules se présentent aussi sous cette autre forme :

Pr 1

(7) Son+1(p) = Sa(p) >. drrletp)}enrt, 1'=0 = n—|

(8) Son(p) = S»(p) > bair( Sa(p)]="1.

- Dostor (*), qui indique quelques développements spéciaux de ce genre, n'a évidemment pas connu les formules générales de Jacobi et de Prouhet.

En second lieu, posons pour abréger

TD

An,o = I, An1= ?

| S—=p—1 ( 4 m2 à ; n 9) À p,9 pt = Se > (— 1)P5s ] BE É 2 sd 2P— 925$ S= 1 An,°p =— An2p+i:

il résulte, en vertu des formules (25) et (26) du paragraphe XX VII,

s—=n—t1 He JODEE fes (10) Su(p)= PE > Ads mine s==0 ( D : AIDE) Fe \ = (T1) Sn (p) = EE > 1) Anh,s(p Hi) ct.

Ladrasch (*) a étudié la dernière de ces deux formules et indiqué la dernière des relations (9), sans connaître évidemment l'expression sénérale du coefficient A,,p.

Or, il est très facile de transformer d’une manière intéressante, les développements que nous venons de déduire. A cet effet, prenons pour point de départ la formule (25) du paragraphe XX VII,

(1) Journal de Crelle, 1. 12, 1834, p. 271.

(2) Nouvelles Annales, t. 19, 1891, p. 199.

(3) Nouvelles Annales, 2° série, t. 18, 1579, p. 453-407, 513-518.

(‘) Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t. 18, 1880, p. 223.

savoir sS=n—1 , T(r +1) ee Bae(t) — Brno) = DT DV nn Ss=—=0 puis posons sS=n—1î!

o On—1(Z) > A sde

S—0 ce polynome est symétrique, et nous aurons de plus On—1(0) = Appi,ni = (2 + 1)! B;,(o)

Cela posé, il résulte les développements

? 2 (2) Dn—1(x) =? > À n+1,25 (72 PRIS n)E Es (x },

= 2 Ÿ A tee le — 95 —2)! EEE) em K,

où l'hypothèse x — o donnera

= 2 : « K=(n—+1)! B;(0o)—2 NX Antiosmi(r—2s—%)!B;, >, 1(0), 5 =0

de sorte que nous aurons

En-1(p) =? > An+irt1 Sr or-2(p)+(n+1)!B,(o).

Ces remarques faites, nous aurons, en vertu de (42),

LT PIRE DIN San+1(P)= ee à Aon+ 2,2» T2n—2} (7 )»

(Hu), 1 r=n— 1

2p(p +1) à Pt N Agn41,2rTan—ep1(p) + (—i)i-? (n un :) Rs

San (p} —= DIVX 1=0

\ \ \ CHAP, XVI. — LES SOMMES DE PUISSANCES. 303 et I ( l'=n—1 RPÉDECUINS | San+1(P) = ven >: Aon+to,2r+1S2n-2r-1(p), (16) 1'=0 | r=n—?

2p(p +1) Q - I I San (P) = PME ee pe D Azn+1,2r+1S2n—2r—2( D) Le (na SE 2 (» = :) Ba |; 1=0 ;

les deux dernières de ces formules sont dues à M. Glaisher (io En troisième lieu, posons

| Aho=1;, Ann 0, , <P CES AE | (—1)Anp=p+i—np +Ù (ps +0 (27), S—1

il résulte, en vertu de la formule (29) du paragraphe X XVII,

| Sr (p) = d'a dde N Apple,

27n as à ni (re \ . l'=2n—k TT ENCEINTES ee Sen1(p) = Nr Y (— 1)! A h,»(p +1)2 A

et la même méthode que dans le cas précédent donnera ici

! l'=n—3 3 Ne Ê nm :

, p(p=r; S | ; (—i)t n(an —1) Son-1(pP ) = = Es = D An,2r+1S2n2;—s(P) Ep SERRE ES Dn=4 le = 0 :

(19) ! Nue | e / 39 [0] € PEÉUPER)E QUI S (— 1) n(2n —1) S2n-1(P) re . NX Aer C2n—2r1(p) ; Br:

Quant aux sommes alternées 5, (p), les formules (35) et (36) du paragraphe XX VIIT donnent

San(p}) = p(p +1) > Appt rie,