PP UP EEE UD

ne sont pas étudiées avec le même empressement que les De c’est Euler (©) qui a déterminé de telles sommes en donnant les for-

mules générales

4 Q Cu 2n 9 p}—9 ):

(10) DO D ee CT LU 2/41, r=1 Ne DES ne 271 ET = 2 NE) D D 2r—I deg hi | (= 1)2[r —(—15)PIT 4 Er D2n+2 j

(:) Znstitutiones calculi differentialis, p. 59. Petrograd, 1755.

(2) 1bid., p. 31-33, 433-134.

(3) Vorlesungen über hôhere Mathematik, t. 1, p. 285. Vienne, 1827. mL

() Voir par exemple: Résumés analytiques, p.71 (Turin, 1833); Mémotres de l'Institut, t. 17, 1890, p. 262, 371, 441. :

(5) Archive de Grunert, t. 10, 1847, p. 342-344. |

($) Znstitutiones calculi differentialis, p. 499. Petrograd, 1799.

Appliquons maintenant les sommes de puissances plus générales

{ Sa(2, p)=aæt+(m+i+(r+o2)t+... + (x + p—i),

sr, P)=p;

| On(T,p)=(@+p—1)—(x+p—02)t+ (x +p—3)—...+(—i1)r tr, (Ée)} D D ete me

introduites dans le paragraphe XX X VI, il est évident que les formules

(14 > / ; SAUETS JP XP, Br1(2 +p—1) —Br(x—1) = n! ?

(15) Bn(a+p—1)—(—i)En(æ 1) = EST donnent une suite d’autres développements pour les sommes de puissances numériques.

En effet, appliquons tout d’abord les formules de Raabe, développées dans le paragraphe XVII, l'hypothèse x — o donnera, en vertu det4) etitro)

= . » ) = J}2#-+1 (16) RS fo) ee 2 +] $S=n ; (rm È DL ENS :

NN ns (2% — 2) B,(2p + r)r-2s+#1 md D +] 25 PES ; S=A 5) DAS (00) S=Hh

2 p + 1)22+2 —1)$ /on—+o E1 ) +V { ) (2% — 2) B;(2p + 1)22-25+2 2n +2 mon +0 Se

sS=1

—- (—1}? Th

(18) 241 on(p)=(2p HP eut Es(2p ins,

S—=/7 ë : | & > (9) 20n4(p) = (ap +iamE Very f?r 5 Es (2p + r1)?2-25+1 = RE” (De

— (— 1) 1+p te

Quant aux deux autres sommes de puissances

s=p (0) np) —= 07 (2 r) — > (2s—1}*, s=1 S=p—t1 (21) POONE D pas ip, s —=0

introduites dans le paragraphe XX XVI, posons, dans (14) et (15),

= puis appliquons les expressions de B,(x) et de E,(x),ül

résulte

on +I ; 2 sS=n RU HIS LANDE ES 7 71 > en ae | 25 BD cs. 1)22-25+1, S=1 £ / (2p — 1}? 2Dp —1)22—1 (23) D DER OP 0 27t »

1 ( »2T ni | Run) 10) PER et, :

25 > nn. D S=1t J on | (210) 2Ton(P) = (2p — LED (—1)-1 ce ne ) Tao ue . 1)22—25+1 er LL (— 1)2+p E sS="nñn D = :

Door DD (— 15"! - FE ) T, (2 p — 12-35, S— {1 tandis que les formules de Raabe donnent cn =; 2 n+1 1) n+t , : px (26) 2 tn(p) = ur __ D: ns ( ra }es— >) B;(2p}-2s+#1,

2n ns (25) ME AT DE (one FE > »( E;(2p)°2—?5 s—=1

+(—iy[i—(— 0 ]E,

fan—i\, ee (28) dtn-1(p)= (2p}" Yi dr } E(2p>" 251,

300 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. Dans nos recherches suivantes nous avons plusieurs fois à appliquer

les formules numériques que nous venons de développer 1c1.