LXXV. — Formules récursives

Comme analogie de la formule classique [Si(p)P = S:(p) Jacobi (!) a indiqué cette autre 2[S:(P)P= S:(p) + S:(p).

Or, il est évident que les formules (1) du paragraphe XLV et (1)

du paragraphe XLVH, savoir

| J'=Im—1

| a (Sr )R tp N P 7: 1 n FAR (nr + p +1)! Hors (nee RL de Fr =0

X(n+Ep+r— 1)! Bas, (æ),

d'=nt

æ'( x +1)? = N JIC)+e 1)2 ()| Gap r)l Ep, (x) =

(') Briefwechsel zivischen Gauss und Schumacher, 1. 5, p. 299.

où désigne le plus grand des nombres z et P où particulièrement mn —= p représentent des généralisations très étendues des formules numériques susdites.

4 à # SN ARS “ £ on : 5 En effet, soit dans les formules (1), æ égal au positif entier «, il résulte immédiatement

, ’ STIRS ‘jp ; TRS |

(2) an(a+i) — D [Ce nef.) ]seu ice), r=0.

G) etre À [()+cr(r) sure) 7 —0 |

d’où particulièrement, en supposant p — n,

LEA TER : a(a +1)? S n = (5) —— = D pp) Sera (a) = 0 << = 5 7 TUE): Qi (5) > ( ) Sans, (a).

Stern (!) a démontré la première de ces formules, par la conclusion de 7 à na +1, tandis que feu M. Lampe (2?) a donné une démonstration élégante pour la formule en question.

Permutons maintenant dans (2) et (3), les exposants n et p, il résulte des développements pour les expressions

at(a +1)? aP(a +1)";

les formules de ce genre, obtenues de (2), sont dues à Radicke (*). Posons ensuite, dans (1), p= », puis cherchons les dérivées des

deux membres, nous aurons, en posant x —@, puis remplaçant »

(!) Journal de Crelle, t. 84, 1878, p. 216-718. (2) Jbid.,p:.270=272.

(3) Journal de Crelle, t. 89, 1880, p. 261.

NIELS NIELSEN

par 7 SE

(6) an(a+ (a+) = É r=0

<an+i = 2 N /R+1\ Snrn(a), DIE ES | à

: ï (7) an(a+(e+t)= Y (

la première de ces deux formules est due à Radicke (") Or, il est très facile de généraliser beaucoup les deux derniers

développements que nous venons de donner.

A cet effet, multiplions les deux identités

T0 LIL( < 1} NN me GATE sd \7

il résulte un développement de la forme l'=n +p

2n+p—r À -vELESr,

ce qui donnera, pour le polynome symétrique ainsi obtenu,

ME nf: 112 4 = — « nl fe ”, ï 1 æ(% +1) (e+ 2 = > Ÿ Asrp(2n+p—or—1)!Bornrp-sr(#) + K, 1°=0 -n+p