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QUO — Gares tt) Se) 2351 (.

LXXVIII — Généralisations des sommes de puissances.

Il est très intéressant, ce me semble, que la formule de Bernoulli soit suscepüble d’une généralisation très étendue. En effet, soit

(1) Monte un nombre quelconque décomposé en facteurs premiers, et soient

(2) %1, 2, A3, ..., ous 2m —=(M)

les positifs entiers plus petits que M et premiers avec M, nous avons à étudier les sommes de puissances

(3) Sn=af+ai+...+a,.

Dans le cas particulier où M est égal à un nombre premier p, nous aurons, par conséquent,

(4) Sn — Sn(p 1).

Soit ensuite »2 un positif entier quelconque, et soient Ba, 6», Ds, DCE) Bamy.

l’ensemble des positifs entiers plus petits que mM et premiers à M, nous posons de même

5) Sn(m, M)= + 6i+.. + Bonus

ce qui donnera évidemment

(6) Ste Me

de plus, nous posons, conformément à la définition (1), (7) YkCM) = (pf— 1) (p£— 1)... (p} 1),

de sorte que nous aurons

(8) M (M)= pip2...pyo(M).

Cela posé, nous avons à étudier tout d’abord le cas particulier où M est une puissance d’un nombre premier, savoir

dans ce cas, il est évident que P; 2P; SP TD.

sont l’ensemble des multiples de p qui ne dépassent pas AM; c'est-

à-dire que nous aurons

SA (070, P') = S n ( mp") 70h S n ( 70pI )