IC SET (9) 6) = > US (HR
Dan (Æ) + (r 2 =) Son(æ ] => 2 +I , Te Pete
(eee
r=n NS IN EL ST) 20 (æ) = ù — SE s) tn) men rie (He DE ar (x).
En effet, soit » un posiüf entier, de sorte que mZ?9on—+u, les relations susdites ne sont autre chose que les formules bien connues pour les sommes de puissances S,, de sorte que les quaire équaüons algébriques en question sont des identités parce qu'elles ont une infinité de racines.
Quant aux polynomes vx(æ), les six premiers deviennent
; GA r? Tr x?
20 TC) = , DT) =— — = — + — = — — : 21 ni Lo(æT) ee 1 5 P3(T) — se æ* 3 e 2 ! n 3 ,2 D(Z) = — FE ns DS (CT VER, ne - , 720 4 10 30 1 288 15 48
ce qui nous conduira au résultat général :
Le 1. Soit n21, nous aurons
es ane - 9 »2n— pi (19) Pon(T) = AsnoLt + ain 2? ÎHi..+ Œinson1®,
un 2 KEY . à QanHi(L) = Gon+s,1 LU + Gant, LT +... + Gontt,on—1 L?,
où les coefficients Gonr Cl Any r Sont des nombres rationnels, dont les dénominateurs ne sont divisibles par aucun nombre premier plus grand que 2n+1. Les premiers et les derniers de ces coefficients deviennent
(=n' NB (13) in,0 — Es lea (2n)!
(— 1} n + « By (14) CENT er 1 (2n)!
(E5 Gin,jan1 = (— 1)! Ba; Te (—1)r(on+1)B} (36) din+1,2n—-1 = — 77 # J
En effet, supposons vraies les expressions susdites jusqu'à l'indice 27 — 1, nous avons, en vertu de (6), à déterminer &o» os par la formule
D (—1)"IB,aon-2r,0 at Be 0
d: + re TE D
2n,0 (oi (an —:1)! É Dh à
d’où, en introduisant les valeurs des &2n-sr,0;
2n (2n)larno—={(—1)7"1 > ( q 3, Ba, + (—12nB,,
pal
ce qui donnera, en vertu de la formule eulérienne (13) du paracraphe XI, précisément l'expression (13) de Gon,0- Appliquons ensuite, par exemple, la formule (11), il est évident
que le polynome ©,,,,(x) deviendra du degré 27 et que nous aurons 1\ CES (n ci an,01
ce qui donnera l'expression (14) de dony1.1- Quant aux valeurs des deux derniers coefficients Gonan 1 €
Gonya,an-19 1l est évident que Æ SA Co ST) 1. pe Bhoi(T) + — gent (— 1) on (7) Br =) (e) n 21(T) PE )
sont les seuls termes des premiers membres des formules récursives
générales (6), qui ne soient divisibles que par x respectivement par
æ?, ce qui donnera immédiatement les expressions (15) et (16). Remarquons, en passant, que la formule (11) donnera cet autre
résultat :
x ] (17) anna (n+t)ans
Quant à la nature des coefficients &s» ; et 4», s indiquée dans le théorème [, savoir qu'ils sont des nombres rationnels, dont les dénominateurs ne sont divisibles par aucun nombre premier plus grand que 22 +1, cette propriété est, en vertu du théorème de von Staudt et de Th. Clausen, une conséquence directe des formules récursives générales (6).
