LXXXIV. — Analogies aux factorielles ordinaires

Il saute aux yeux que les sommes de puissances $, que nous venons d'étudier sont très analogues aux sommes de puissances Sa (mm — 1) provenues des zéros de la factorielle ordinaire OT).

Dans le cas où m2 est supposé égal au nombre premier p, l'analogie des deux fonctions

frtæ)=p!B;(x), Wp(T) = TX +1)...(2 + p—:1)

peut être étendue beaucoup plus loin. En effet, posons, pour

CAP. XVII. — LES COEFFICIENTS DE FACTORIELLE. 313 abréger, (1) par) = x? + Lars + CoxP+ CixPch+.. + C1, (3) Wp(r) = rP+ CO) +xr1+ Cixr2+.. + CE De.

nous aurons, par conséquent,

(4) Ce ( 5 }B

Cela posé, les résultats obtenus dans le paragraphe LXXIX donnent immédiatement la proposition suivante :

L Soit p—2m +1 un nombre premier plus grand que 3,

NOUS AUTONS

(5) G,— C0 (mod p), . rex I cer (—1)"B, (6) ñ Pa FE her (mod p),

où il faut supposer 1 £7r £m—i1.

Quant au cas spécial exclu 7 — m, le célèbre théorème de von

Staudt et de Th. Clausen donnera

ï ( oi) (— 1)” Bu= - + Ve

où W5 estun nombre rationnel, dont le dénominateur n’est divisible par aucun nombre premier plus grand que p—2, ce qui donnera

{8) Come CFE —1 eye

de plus, nous aurons, en vertu de (4) et (7);

1 1 CGonm—=—1—pÜom;

(9) tandis que le théorème de Wilson donnera

Can = (p —1)! =—1+po,

Mp=—1— Von (mod p );

c'est-à-dire que nous aurons

Csmn + 1 P

CE x:

(10) = — \h,, (mod p),

= — Lo. (mod),

de sorte que la congruence (6) n'a aucune analogie dans ce Cas.

Quant aux sommes de puissances 52, et 5:,(p —1), nous aurons

(12) Sir = Ser(p—1)=(—i)t1B,p (mod p?), ce qui donnera cette autre proposition :

IL. Soit p—2m+1 un nombre premier plus grand que 5, et Soit 1 <r<m —1, nous aurons

(13) S2r= S2r(p —1)=0 (mod),

(14) Ser(p—1)=(—i1)T1B. (modp).

Quant au cas spécial exclu, il résulte, en vertu de (=) et (r2), Son = Sam(p—1)=—-i1-plb»h (mod p?), ce qui donnera immédiatement

(15) Somn= Som(p —1) =—1 (mod p),

Sam + So — VE (16) = = nr . : = Un (mod p).

Etudions maintenant les deux sommes S,,,, et Sssi(p—1), il résulte, pour 1£r£m—i1,

(17) Sar+1= S2rr1(p —1)=0 (mod p?),

MO Rae ne Re : - » :

mais 11 n'existe pas des congruences analogues à (6) et à (14). Or, il est bien remarquable, ce me semble, que les coefficients de facà: A repré : . Le pe torielles C;"*? représentent des analogies parfaites avec les sommes de puissances S:,,,.

En effet, on aura tout d’abord

RU CUESPURE"SE) 2 5 Pl 3 ) ce qui donnera | Sy= C}=0 (modp), (18) Sel ï I RE mil re 4 Ho PES (mod p),

tandis que nous aurons ici la proposition générale :

1 PE RURCES IENTS DE FACTORIELLE.

Sorti = dr — 0 (mod p?),

= 2 Ce OO (mod p).