LXXXV. — Formules et théorèmes généraux

Revenons maintenant au théorème de von Staudt et de Th. Clausen

I I I I (1) (—1)2B;= Ant + — LE Soie = = 2) A1 A2 À n

où À, est un nombre entier, tandis que les À, sont l'ensemble des nombres premiers du rang #, on a indiqué plusieurs relations dites caractéristiques pour les À».

Or, de teiles formules sont illusoires à ce point de vue, parce qu'elles ne sont autre chose que des propriétés communes aux coefficients d’un groupe très étendu de formules récursives pour les nombres de Bernoulli, ce qui est évident si nous étudions, d'un point de vue général, le problème susdit sans nous borner à cer- Lains Cas Spéciaux.

A cet effet, prenons pour point de départ la formule récursive

<m—i NT

(2) Ù rames bp (res):

Gil

désignons eusuite par

(3) PiPaP3 +. Pu

l'ensemble des nombres premiers impairs égaux à » au plus, puis introduisons, dans (2), au lieu des B,, les expressions Correspon—

NI

CITAP. XVIII. — LES FORMULES RÉCURSIVES DES B». 34

dantes tirées de (1), il résulte une identité de la forme

Va r=h AM {4) > RES TN ER Ne D 2,

s=1 cn —1 Pr=1 { 6) M,= » Lm,spr—s- S—=A