I. Posons, dans (5), successivement ON UTE co CNE

{es p nombres

sont parfaitement déterminés et nous aurons toujours 0,1 Où d—= 0; selon que 22 +1 est un nombre premier ou non.

3 : | : he Revenons maintenant à la formule (4), puis supposons que 25»

et tous les coefficients 4».»3 Soient des nombres entiers, 1l est évident que la somme qui figure au premier membre est un nombre entier. Remarquons ensuite que les dénominateurs, figurant au second membre de la formule susdite, sont sans diviseur commun; il faut qu’elle soit divisible par p,, de sorte que nous aurons cet autre théorème :

IL Supposons entiers 28, el tous les coefficients anses qu figurent dans la formule récursive (2), puis désignons par p un nombre premier impair égal à m au plus, nous aurons

(8) DE (mod p ).

S=1 Soit particulièrement » un nombre premier, il résulte, en vertu dé (9); pour p—"r7,

(9) Gn,m—1= 0 (modm ).

Le théorème inverse de IT est évident, savoir :

HT. Sotent les coefficients a» », des nombres entiers qui satis- Jont aux congruences (8) où p désigne un nombre premier empair, égal à m au plus, l'expression

(10) 2 NY (—1}Sames Bs

est toujours un nombre enticr.

De plus, il est très facile de généraliser beaucoup les deux derniers théorèmes que nous venons de démontrer. À cet effet, désienons par ÿ»,+s des nombres qui satisfont aux congruences Vnor = Vs (modp),

où p est un nombre premier impair du rang 7 — 5 et égal à me au : Le, Le, plus, nous aurons évidemment

nel = pi = = Ÿ

Ln,ps—s Üm,ps-s = Ym,p-1 Lin,ps—s ( mod DE