LXXXIX. — Les quotients d'Euler et de Sylvester

Remarquons que le théorème de Fermat se présente sous la forme

(am+i)(an—1)=0o (modp), HN up

il est évident que le positif entier @, non divisible par p, satisfait à une des deux autres congruences (1) «a — 1 (mod p).

Posons maintenant, d’après Legendre,

(2) a 2? = (2) mod p),

nous aurons, par conséquent,

Posons ensuite, conformément à la congruence (2),

(3) a ? = (£)u+prial:

il est évident que Æ,(a), le quotient d'Euler, est un nombre entier, et nous aurons, en vertu de (1),

ap-1=1+2pk(a)+p?kf(a), ce qui donnera la congruence bien connue (!)

(4) k(a)=2ki(a) (mod p).

Soit en second lieu & un positif entier quelconque, le théorème de Sylvester, savoir la formule (10) du paragraphe LXI, montre que l’expression

(5 — (4) (on 27 at )

est un nombre entier; nous désignons ce nombre A,(&) comme le quotient de Sylvester.

Soit maintenant A M à

l’ensemble des nombres premiers du rang m; l'expression

210 D nn

est, en vertu du théorème de Fermat, un nombre entier.

Soit ensuite 2Mm—1—p un nombre premier, tandis que a ne soit pas divisible par p, nous aurons, en vertu du théorème de von Staudt et de Th. Clausen,

CLICLEEN

(— 1)#a?n(oîm—;1)B,, —= (mod p),

ce qui donnera immédiatement, en vertu de (6),

(6) kK(a)=(—1)#1%;(a) (modp), P=2m+i1, PI TUE

(!) Voir le beau Mémoire de M. Lerch (Mathematische Annalen, t. 60, 190, P- 479). ;

CHAP. XIX. — LES QUOTIENTS DE FERMAT. 359 c’est-à-dire que nous avons démontré le théorème :

1e Désignons par P=2m+1 ur nombre premier impair quelconque, par a un positif entier qui n’est pas divisible par p, les quotients de Fermat k(a), d'Euler ki(a) et de Sylvester ka(a) sont liés par les congruences

(7) k(a)=2ki(a)=(—i)r-1%,(a) (mod p).

Soit particulièrement a — 2, nous aurons, en vertu de la for-

mule (2) du paragraphe XVI,

| 2m(22m—1)B,, (8) En = T»,

où T, est le m°"° coefficient des tangentes, ce qui donnera, en vertu de (7),

(9) k(2)=2ki(2)=(— na iT,, (mod p).

Revenons maintenant à la congruence (2), savoir