XV. — Théorème de Jacobi

Revenons maintenant aux équations aux différences finies qui figurent dans les définitions des B,(x) et des E,(x), savoir

B À B æri=1 à a(t)= En mer (DEAN):

x't BC) art) ES (n2o),

puis mettons — x au lieu de x, il résulte, en vertu des expressions des B,(zx) et des E,(x), trouvées dans les paragraphes XII et XII, respectivement

NEA

(—i)r B,(— x —1) =(—i)r B,(— x) + CEST

(—1)E,(—x—i)=(—i)tE,(— x) + — 1H () (n20):

Remarquons encore que B,(x) a une valeur constante, nous aurons le théorème suivant :

I. Les polynomes B,(x) et E,(x) satisfont tous deux, quel que soit l'indice n, aux équations fonctionnelles

\ (ME B,(— zx SE 1) LE B;(x),.

“ {(—i) En(— x —1)= Er(r).

Jacobi (!) a indiqué, évidemment pour la premiére fois, la pre-

(1) Journal de Crelle, t. 12, 1834, p. 267.

52 PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS. mière des équations foncuonnelles (1) qui correspond à la foncuon

= rB, @) bte) = Brno + TE C2)

c’est-à-dire précisément l’équation foncuonnelle en question pour une valeur paire de l'indice n.

Plus tard, la formule générale concernant les B,(x) est trouvée par Dienger (‘), Malmsten (2), Raabe (*). La dernière des équations fonctionnelles (1) s’est évidemment présentée aux regards de Raabe (‘); cependant, il n’a pas réussi à formuler explicitement : l'expression fonctionnelle en question.

Introduisons maintenant, dans (1), 22 +1 au lieu de 7, puis

, il résulte

I n Bon+: (-i) ee Boni (- : »

2 2 I 2 I Ent e :) —— E," e = ?

2 2 ce qui donnera immédiatement 2 Boni1 (- " —=ù0; Esn+1 (- :) 0:

Cela posé, nous avons à étudier la valeur numérique

Bl1—

posons L—=—

(4) En = (— 1)" (an)latn tt Es (— :) (n21).

À cet effet, introduisons tout d’abord, dans la formule (15) du N LE T L I ; ce" ?

paragraphe XIIL, x —— ,> PUIS posons 2% au lieu de x, nous aurons immédiatement

(5) à on Ê3 SCENE è 1) / ( t) Fa jrs

sS—=0

CDI, rt 35 SE p.64:

(5) Zbid., t. 42, 1851, p. 354. — Mathematische Mittheilungen, t. T-WI, p. 48-40. Zurich, 1857-1858.

(*) Math. Mitth., p. 138,

de sorte que les E, sont des nombres entiers. Quant à la nature de ces nombres, introduits dans l'Analyse par Euler (!) et par conséquent désignés généralement comme les nombres d'Euler, nous aurons à démontrer le théorème suivant :

Il. Les nombres d’Euler sont tous des positifs entiers impairs.

En effet, introduisons, dans l'expression obtenue pour E,,(x), en

; z I vertu de la formule (0) du paragraphe XIE, x — — -, nous aurons SERA ; - r 2 A F6) En = Ta+ > HN (RE) s=1

c’est-à-dire que E, et E,, sont de la même parité, parce que lesT, sont des nombres pairs, abstraction faite de T, = 1. Dans nos recherches suivantes, nous avons à étudier plus ample-

ment les nombres d'Euler.