I. Soit p un positif entier quelconque, nous avons toujours
SpA TRES ER :
45) pi > Ba (= = }=Ba(r) QT);
= + TES : Siné
(2) (2p +1)! > (— 1)$ E (2) NEA) (n20),
(3) (2p}" D: YBR (TE) = E,1(x) (nzt).
En effet, désignons par
F,(z), Gatæ), Ha(x)
(!) Anstitutiones calculi differentialis, p. 542. Petrograu, 1795. — Opuscula
analytica, t. II, p. 269-270. Petrograd, 1785.
Gp PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.
les expressions qui figurent aux premiers membres des formules en question, il est évident que ces polynomes forment des suites harmoniques. De plus, nous aurons immédiatement
æz\ Æ S æ'—1 ne comen (5) 3, (8 0]
RER deu RS Ga(æ)+ Glen) = pe) +8 (EE —:)] Fe Do x Tr < ani H,(æ)+H;(x—1)=(2p}r 1 [8.(2) 8, (2 —1)| An.
ce qui nous conduira immédiatement aux résultats susdits.
Les formules (1) et (2) appartiennent à Raabe (!), tandis que (3) est peut-être nouvelle; d’autres démonstrations du théorème de Raabe sont données par exemple par M. N. de Sonine (?) et par A-Berger:(#).
Il est très curieux, ce [me semble, qu'il existe des polynomes entiers, d’un degré quelconque, qui satisfont à des équations foncionnelles de la forme susdite. Or, il est facile de démontrer que, abstraction faite d’un facteur constant quelconque, les B,(x) et les E,(x) sont les seuls polynomes qui possèdent la propriété indiquée. |
En nous bornant à l’étude d'une seule des équations fonctionnelles susdites, par exemple de la première, nous supposons, par conséquent, qu'il existe un polynome entier F(x), du degré m, qui satisfait à la condition
sS=p—1
(4) F(æ)= put Ÿ je
pæ
où p est un entier plus grand que l'unité.
Cela posé, il existe un développement de la forme
(5) F(æx) = aoB(x) + & By-1(t) +...+ dm Bo(x), (!) Die Jacob Bernoullische Function, p. 23-28. Zurich, 1848. — Journal de Crelle, t. 42, 1851, p. 356-357. — Mathematische Mittheilungen, t. I-IL, p. 134.
Zurich, 1857-1858.
(?) Journal de Crelle, t. 116, 1896, p. 133-134. (*) Acta mathematica, 1891, t. 14, p. 260.
où les coefficients a, sont des constantes par rapport à +, bien déterminées du reste, ce qui donnera, en vertu des formules (1)
et (4),
S = 1 ENEDE D: CA D Cr), sS=0 d’où, en vertu de (5), 4s = Asp", savoir GI 0 (SE Æio))
de sorte que nous aurons finalement (6) ÉMENPPBE-Cr);
où Æ est une constante quelconque.
De plus, il est très curieux que l’existence d’une seule équation fonctionnelle de la forme (4), savoir pour une valeur spéciale de p, entraine l'existence des équations de la même forme, où p est un positif entier quelconque. *
Introduisons maintenant, dans (1) et (3), p = 2, respectivement
D = 1, puis remplacons x par x + 1, 1l résulte les deux formules Ve >] P'a€ ;
D æ—1 Biu(r)=a|Bu(t) Soprer( À )l
æ BE Là Her) [n. 1 (2) es Bai ( = )| ï
d’où, en additionnant les deux formules ainsi obtenues,
spéciales
l : Ca (8) PA60) = AD" (£) — B,.1(x).
Posons ensuite, dans (8), æ—0, puis introduisons 27 —1 au lieu de 7», nous aurons immédiatement le théorème suivant, dû à
Euler (!) :
IL. Le n°" nombre de Bernoulli B, et le n°°"° coefficient des tangentes T, sont, pour une valeur quelconque de n, liés par la
( 1) Opuscula analytica, t. I, p. 273. Petrograd, 1785.
relation 222 (92n — 1)B»
(9) le TS
La formule que nous venons de démontrer est intéressante parce qu’elle touche à la question concernant la nature des nombres de Bernoulli, en indiquant que l’expression qui figure au second membre est un positif entier. Dans nos recherches suivantes, nous avons à étudier plus profondément la question susdite.
Revenons maintenant à la formule (1), puis appliquons les valeurs numériques, indiquées dans les paragraphes XIT et XII,
Savoir :
, (= n—1B Boo) =1—= B5(— 1), Ban(o)= Ban(— D) = EE.
(10) ue Ta | BONE EE Ce es B:»+1(0) = B:7#1(—1)=00,
(ri) (—13)2T,,:
(an +1)! 22442?
À Bi(e) = En) = >; Ba (o) = Bir(—1r) —:0; { Esn+1(0) = — Eon+1(— 1) =
nous aurons immédiatement s=p—1 ; B s: 1)? EL PRE, (EE) V Ben (— © UP pote (nb near):
dd p (Or) ne Ref L
tandis que la formule correspondante, pour une valeur impaire de indice, est, en vertu du théorème de Jacobi, une trivialité.
Il'est évident que la formule (12) nous permet de déduire une suite de valeurs numériques.
En premier lieu, soit À — 2, nous aurons, en vertu de (12),
(13) He (- :) D Go à mn LL (n>r),
(2r)lor
tandis que nous trouvons immédiatement :
(14) Bo (— IE
On voit que ces deux formules forment un supplément nécessaire aux valeurs numériques indiquées dans le paragraphe XV,
Savoir :
(15) Bars (- :) — O, (16) Esn+i (- E == ON “(= à 2
G7) En(—s) = EE
. En second lieu, soit n — 3, nous aurons, en vertu de (12), et en appliquant le théorème de Jacobi, ’
TONNES Reese 9]
tandis que la formule (2) donnera de même, pour x — 0, Der
€ (—1)2-1(322 — 3) Te k Es = = — Lon 5) à en), LR Ses Fe .( 3 Caen
Remarquons, en passant, que les valeurs numériques
Ban (— 5) Fan (— ;)
ne sont pas connues sous forme simple, analogues aux deux valeurs
précédentes.
En troisième lieu, l'hypothèse p — 4 donnera, en vertu de (13),
I 3 (— 12 (222—0)B, , D) =) Goes à ra)
, nous aurons de même
. . . N il introduisons ensuite, dans (8), x ——,
L 4 3 (— 1) E, ar (21) Ban+1 (- ;) = — Bons (- :) MENT (nR2t).
En dernier lieu, soit p — 6, nous aurons, en vertu de (18),
(22) Br (- 5) = B;» (- 3) ne D MONTE
tandis que la valeur correspondante
n’est pas connue sous-forme simple.
Ces résultats numériques, dont la plupart étaient connus par Raabe (*), se trouvent dans des Mémoires de M. N. de Sonine (*°) et de J. Worpitzky (?).
Revenons encore une fois à la formule (1), nous aurons immédia-
tement S=p—1 ÆX—S\ ÉA T ; (23) ins » [B.( )— Bu (2) = B,(æ)—p"B, 2) (p22), pe \ rem ie Ko 99 P .P ce qui donnera s=p—i ’ ; — s ; —1)2( ES, | à « $ (24) D [Be (— 2)-B0)] = SE 8 (R2Z1),
savoir la formule appliquée par Kummer (*), dans ses recherches fondamentales sur le « dernier » théorème de Fermat.
XVII — Formules de Jacobi et de Raabe.
Les valeurs numériques, trouvées dans le paragraphe précédent,
permettent de déterminer les coefficients de divers développements obtenus pour les fonctions B,(x) et E, (x).
À cet eflet, prenons tout d’abord pour point de départ l'identité évidente 1 ( :) CE EU 2 2
la formule de Taylor donnera, en vertu des formules (13), (14),
. (9) Journal de Crelle, t. 4?, 1851, p. 335-364. — Mathematische Mittheilun= gen, t. III, p. 189. Zurich, 1857-1858. | *
(2) Journal de Crelle, t. 116, 1896, p. 134-135.
($) Zbid., t. 94, 1883, p. 2rg-22r.
COTE ATAU ES50 pe mare
(15), (16), (17) du paragraphe X VI, les deux développements
1\2 se 1 \2—2s De à (eu 2 NV) ESA 2
CEE « I \2 LE 1 \ 225 (+2) Fià si (+2) — 1} KE, 2 (2) RACE) EE ] — ; : els dm (25)!225+1 (nn — 95)!
qui sont dus à Raabe (!) et qui nous conduiront à plusieurs autres
développements des B,(x) et des E,(x).
En premier bleu, posons Ê (æ — 1) au lieu de x, nous aurons
re Dés Lt) æ” T(— 1) (28 — 2)B;rtr2s É À DL B == LISE te ns é bn (< ) nl (2s)!(n—s)! :
sl ! <a x 4 PAT PAL = (—1} Eros n+1 KE —— —————— 0° (4) Fa E,( 2 ) n | De res
En second lieu, posons, dans (1) et (2), 2n au lieu de », puis
appliquons l'identité évidente
1 \2 I (24° I en en or \ 2 4
il résulte tout d'abord
L\Z a (e+ pr re 2 + — SE ? T (a+ x -) (— 1) (225 — 2)B, Â
PE EDS (25)! 2?s (an —5s)!
1\2 V4 we % ) 2 = ST T'= æÆ F7 ; (x +æ+>) rnsEs À 4 Era(z) = 2 (on)! F2 os) (an —92s)!
| si
(2) Journal de Crelle;\t. 42, 1851, p. 355, — Mathematische Mittheilungen, CID. 133. Zurich, 1897-1998. ,
6o PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS.
d'où, en ordonnant d’après les puissances de la quantité (x?+ x),
S=nr Fn;: ns (5) Ben(x) = PRET (a+ x}, s—N s—n 8 .
@) En(e) = D Trnpraes (ea)
où nous avons posé, pour abréger,
ri Sp (5) k neo ire n —Ss\ 0 PT :
Re FD 1) RO (2 2) Be:
Bo 11,
M Jet) Cf)
je n'ai pas réussi à donner sous forme simple les coefficients 4, et Ê
p n,p° Soit particulièrement x égal à un positif entier, Jacobi (!) a démontré l'existence d’un développement de la forme (5). Cherchons ensuite les dérivées des deux membres des formules (5) et (6), nons aurons les développements analogues
1 (2n —92s)an.s 4 ( Ba (Tr) = (T4 — (rl + mr -s—-1 9) nm1(æ) à FR EUAS) 3 EL sS=n—1 : pi + (an —9s à (10) Eon-1(t) = a = D CR Rs) es ee ER 2 dd. (272) 122551 S—0
dont le premier, pour une valeur positive entière de l'argument x, est dû à Prouhet (?). En se rappelant la valeur de B,(0), en aura, en vertu de (5) et (9); (11) { Ln,n = (— Dub | Xn,n—1— O0; ne Tree
(!) Journal de Crelle, t. 12, 1834, p. 271. Voir aussi Nouvelles Annales, t. VI, 1848, p. 448; t. X, 185r, p. 198-190.
(*) Nouvelles Annales, t. X, 185r, p. 199-200.
: CHAP. IV. — LES FONCTIONS DE BERNOULLI ET D'EULER. Gt:
d'où. il résulte, en introduisant les expressions correspondantes tirées de Ch ces deux formules bien connues :
S—=nr—1
(12) Hs re 2 (— 1)S - NICE EN
.{2n+i\, 4 TRS ME > 0, ( 2S+I ) (+ Homedennt AUTRE TEEN EEE S=0 dont la dernière appartient à Euler (!).
Les développements (6) et (10) donnent, de la même manière,
Grret— (nil,
d’où, en vertu de (8), les formules récursives bien connues :
sS=n—1!
AN —1) (15) T, + > Cf )Eres Cut S=1 s—=n—1 2n :
(16) Y (0) Eee pt, s—0
dont la dernière, due à Euler (?), représente la première formule récursive connue pour les nombres d’'Euler.
Appliquons maintenant les valeurs numériques (11), nous aurons,
en vertu de (5)et (9), Bin(æ)= 2°(& +1)? fonu(æ) + Bon(0) (#29
(12) Bam)= r(e#+) (e+ L) grn(æ) rent),
tandis que les formules (14) donnent de même, en vertu de (6)
et (10), ul Eon(x) = x(x +1)han-a(x) (n21),
(18) Erertut— (a+) kon (æ) (nZo).
() Opuscula analytica, t. IT, p. 261. Petrograd, 1785. (2?) Zbid., p. 269-270.
Dans ces quatre formules, les PAC D NS AIO ED NU TAC) désignent des polynomes entiers d’un degré égal à l'indice. Revenons maintenant à la formule (1), puis introduisons =æ, respectivement : (æ — 1) au lieu Ce x, nous aurons, en additionnant,
respectivement soustrayant les deux formules ainsi obtenues, puis appliquant les formules (5) du paragraphe XVI,
Ur ES
, (æ +i)i+ mn (— 1} (225— 2)B,; (x +Hi)ris + mrts
