ÉCLAIR

ARTE ! ( THr})n—25+1 1 pm—25+1 Te mé à Re 2 es ET 22?s s—1

il résulte S= Ar (T HI nie T's (2) Pa) EN ans TT,

où

Xn,0 — An,0;

tandis que nous aurons généralement

2p+1 : . NET )S EP SES (3) Xn,p—= An,p + N a g FEES [ Ta Ce md 225-1 2S— TJ SR, p-2S4+15

dans ce cas nous retrouvons les conditions (17) du paragraphe XXI:

tie

Appliquons de même la formule (19) du paragraphe XIV

(BASE NN GAIC

savoir CT + r) Et 2 pmn+i

am — à I HI

(æœ Lr)n=2s#1 ch æm—2s+1

F In 2e Ÿ ne Re sd GS : MN — 325$ +I

NUE Fe Es (æ@ Ha) sSEl — pa-s+i (4) ne = Gris > ° sm % TS s=—=0û ‘ où il faut admettre Bn.o = An,0) [22 Bn,1 dr ie | 0 (5) <P =3 REA EE U —po2s ne CN me GT TA An,p1 + +" Sn ne 1e 2 En /

ce qui donnera les conditions (16) du paragraphe XXI 6° II nous reste encore à étudier un développement d’un polynome

quelconque, développement qui est essentiel dans la théorie des polynomes symétriques.

A cet effet, prenons pour point de départ l'identité évidente

I I & en=[-}1+(e+ 2) ?

la formule binomiale donnera <e { To 2 ; es 1 \ 25+1 2 T+- T2 T + — > (nn 2 nt n 2 2 = ( QE E an—2s 3 G 3) > DIS Dn—2s—1 s —=0) S=0 ou, ce qui est la même chose, ’ TA 1 \S T2 (a+ 1 om a an = EAN 7 cd | 25 DÉPSS <n—i 1\S se (a+ FES :) 2?

= HN) n ) 5 7 Ca ET > pn—25+1

d’où, en appliquant, sur tous les termes, la formule binomiale; puis ordonnant d’après les puissances descendantes de la quantité x? + x,

LL Mt ES") = @ LT LE (6) gn= (MD e Cn,s(X? ape (ii(e+:) X Y dns (TS S=0 k S— 0 où nous avons posé pour abréger J zn :

a. | + S\ (7) Cap = > (. (P Ÿ à on—2p DPI 25 Vos mr :

UD = 2 eh à I à ñ \ f/p +s\ (8) dr,p— RTE N { = DER PEN il D DID SEAL RON ; S—0

Quant à la simplification de ces expressions, nous multiplions par ( 1\ J æ=|r+ EJ — — 2 2

les deux membres de (6), ce qui donnera le développement correspondant de la puissance x?*', De cette manière nous trouvons les formules récursives

[ I I | Cn+1,s = = Cn,s + dn,s- lbs dn,s; 2 4 (9)

Anis = Cns + dns,

où 1l faut supposer 1 £s£7, tandis que nous aurons, en posant

dans (6), x — 0, respectivement æ ——1,

Cn,0 — dn,o LS

de plus, nous aurons évidemment

(10) Con,n = 1; donrin=1.

Cela posé, la conclusion de m» à m +1 donnera, en vertu de (0), les expressions générales

TETS 12 An —S—I (11) Cris = EE | dre , ENS RUES À Ti 25—A 3

re

«© Or

de sorte que nous aurons finalement

= = ul (12) an (ri LASER) (a+ æ) dd D — 05 S :

Ÿ—0 LEE | — 9e A L n— S — Gin = EN) (x? + x}.

\ 2 mes Q S=û

Posons ensuite, dans (12), — x — + au lieu de +, il résulte

LT n n—Ss\, *d1182) (æ+rnr=Y ——{ }+ey ET è LEE | I \ fn —Ss—1\ | ADS > ( }(e+æ, \ É \ S S=0

ce qui nous conduira à un développement des polynomes symé-

triques (T HI) g'A

Remarquons, en passant, que les expressions indiquées pour les deux coefficients €,, et d,, donnent les relations numériques

cn —) 5 +

N nl DSP LR ("7 P)on-2r (14) ail ne. 1S ) 2 2/p P 1e $

dont le cas spécial qui correspond à p — 0 est bien connu. Revenons maintenant au polynome f,(æ), défini par la formule (1), nous aurons, en vertu de (12), un développement de la

forme " AT = » =

CN rate po) (e+ =) D ctat+z), = 0

où nous avons posé pour abréger

À DFE NA DIEESS (17) None D (— 1) ( k Mon dl 5 s—0 S—=n—2p—1 . es (18) | Ôn,p = D œ1yt?, } an. Pense

Dans le cas p —o, le terme au second membre de (15), qui correspond à s — 0, doit être 4, n.

Soit fon (x), respectivement /2»4, (2), un polynome symétrique, nous aurons, en vertu de (16), les conditions suffisantes et néces-

saires

(19) dar — 0,

respectivement

(20) YinH1,p= 0, .

conditions qui ne sont formellement identiques à aucune des condiuons précédentes.

Développons, conformément à la formule (16), le polynome

. ri (— 1 )2 (21) pe D AO ER DRE Le Un ul à æT [

regardé dans le paragraphe XIX, l'identité évidente 2p HS RE Spb) vs 2p +25 s es s 2\ s—1 donnera, pour les coefficients, les expressions suivantes :

| D —p +1 n+2 | Vase on ( F )

P+I SR Sp ES