TEA

nent ° 1 m 15 T2 TE ER RUE sr ( ) ( ÿ Ces +, 2p 2 n,2p ss 7 T2S—1\ MPG 541 Bps DE n—2p À s—0

\ \ 2p—25+1 (16) E Drama = Su (, Le )(2) ie AREAS

2pP—92S+I 2

UE

ve n — où il faut supposer 1 £p = » respectivement 0 = p <

Posons, dans (15), p — 0, nous aurons le résultat évident

mn (7) Te ant ES REA CEE LE

Supposons maintenant ? pair, remplaçons » par 27, puis posons

-pour abréger

(18) Pon=(2u— m)(2%— m)...(2%n—m) =(2m}" Fan (— :) ;

il résulte, en vertu des formules (25), (26), (23) du para-

graphe XXI,

S—2n—1 (19) P,,—'22 Œan,2n = > (— 1} NES Lors s=0 F S=n—1 ( (20) Pan — 2% Grnan = > (— 1) 235 m?n25 Gones En-s, s=0 Ss=n—1

è +. | m\2n—25—1 me T (21) Pen — 22" Gon,on = > ur) ee) 2 don,2s+1 Ln-s

Étudions encore le polynome entier | | sf ii HT a \9 RSA E (22) PT) = re nd Et Mer MEL re

où g est un positif entier quelconque, nous verrons, en vertu de (7), que #,(x) est un polynome symétrique; posons pour abréger

Sp do As eo Un; So= A,

Univ. of Arizona Librarÿ

nous aurons de plus

r=q no) DD EE r=0

c’est-à-dire que les sommes de puissances S, sausfont à des relations obtenues de (13), (14), (13), (16) en y remplaçant x par g,

puis posant q A S CA Fr r) ce qui donnera immédiatement le théorème qui suit, très remarquable, ce me semble :

I. Supposons que les coefficients a,, de l'équation algébrique

(25) An 0T + An TA +... An,n1T + Œn,n = O

satisfassent aux conditions équivalentes (13), (14), (15), (16), les sommes S, des puissances semblables des racines de cette équation, prises à signe contraire, satisfont aux conditions

analogues —=p—1 (26) h—ciis,= À Cr(P)mrrs,, 7 —0 r=2p+1 (27) ES CPE) armrens,, r=e (28) (— 1)? Êe it (» SE :) Sp] r=p—i JS Co(rt)mers, nn.

2DP+HI \ 2p—2r+1 (29) (— 1 Sip#t > (Ga y ( Fe ) (2) Ser Tp=r+1,

et inversement.

Dans ce qui Suit, nous avons souvent à revenir à des formules de À DS M AAUUENES æ ® z s . es ce genre; C'est pourquoi nous nous bornerons à indiquer ici deux exemples des nombres spéciaux qui satisfont à la condition (5)

RACE VanEe ave RL à nd ON ne CM” x à ; 4 Pa à L" Ty : « 1] x CHAP. V. — LES POLYNOMES SYMÉTRIQUES. IOT 1° Les termes d’une suite arithmétique aa Ed var sd 1, a+(n—1)d; m=2a+(n—1)d, exemples :

CGI PEN, GPS

2° Soit m un positif entier, l’ensemble des n —%(m) positifs entiers, plus petits que m et premiers à m, satisfont à la condition (5).