XXV. — Exemple. Polynomes de Cauchy
Les polynomes entiers
To(x) = 2,
() 2n 2n—Ss\rN—s Gr) =Ÿ —( s en
représentent une classe de polynomes symétriques très intéressants. k Soit ñ —1, 2 — 2, il résulte respectivement
y (COTES
de plus, il est facile de vérifier la formule réoursive I pe > (3) (+}) Vp(r) = Wosa(z) + 7 Woh1(x) (DE) ou, ce qui est la même chose, 3 I Pr) For) = Von(r) + Wph(z) (DD)
et la conclusion de m à m +1 donnera sans peine la formule plus
générale
(4) VaCr) Pole) = Vp+g(æ) + Vo-a(a) (P2Q)
d’où, en posant g — 2, } (5) (++) Poe) = WVptr(z) +5 Wya(z) (PE Cela posé, nous aurons, en vertu de (3) et (5), l’identité curieuse (6) Wh(iat+ 4x) = 22 Win(x),
de sorte que la définition (1) de W,(x) donnera
Sn
on DT SN ELNES RE
(7) SD le s=0
appliquons ensuite la formule récursive (3), nous aurons de même
Le S=n
(8) Pu(r)= (e+s) D (PNR.
Un autre développement général de Wa(zx) peut être obtenu, en
prenant pour point de départ la formule récursive (3), puis apphiquons la conclusion ‘de # à 7 +1; de cette manière nous trouvons
ar OX, (r82)728 Ch RE EN Er CE
Les trois dernières formules montrent clairement que les W,(x) sont, pour une valeur quelconque de l'indice », des polynomes symétriques. De plus, les mêmes formules donnent immédiatement les valeurs numériques
TER n?
pe (10) VW”, (o) = 5n-2?
w EEE RS Per rer 1
Quant à cette autre valeur numérique
(11) An = 22" wa (—
TE
dé. mél tn |,
sation. à dns tn ii
hottes dt
CHAP. V. — LES POLYNOMES SYMÉTRIQUES. ï 103.
nous aurons, en vertu de (1) et (9),
tandis que l’équation fonctionnelle (3) donnera la formule récursive DOCS) | , PEUR (n292), d’où, en vertu des valeurs initiales | AV— 2, ai — à
… les expressions générales
1 « ÿ Ain = 2,
1 , (14) 4 déni — 1,
! = Lin+3— 5 2:
EC Agnse = — I.
.. Remarquons, en passant, que l’équation algébrique rt Ce ee mA Y, (x) = 0
a toutes ses racines négatives et inégales (!). Quant aux applications des W,(x) dans la théorie des nombres de Bernoulli, nous aurons les deux développements
TL ee: | ET , jt <e 27 ï —W,,(z)=Kh+ > Re Ê (16) ; Fm ) 4 MN SE 1 H == ?
Ft 2S+I ete nas Bm-as(2); JS
m om—92s\(m—os)l, — ( 1 E-as(æ );
(7). Pam =Y
| (1) Posons pour abréger 2 cosn 6 = ,(2 cosb),
nous aurons
(2) = ln æ.,,(i2Vx);
c’est-à-dire que l'équation (15) a les racines — cos? ( Les polynomes d,(æ) sont étudiés par Cauchy (Ceurs d'Analyse de l'École Polytechnique, t. X, p. 350, Paris, 182t).
(oSp=nr 1),
où nous avons posé pour abréger
F: (— 1)22+S m Re S () Rene s )
de sorte que nous aurons (19) Konr1—=0,
mais je n'ai pas réussi à déterminer, sous forme simple, la valeur de K,,.
: ; Le Posons maintenant, dans (16), m—2n<+1,x—— j° il résulte,
en vertu de (11) et (14), la formule récursive
DE
(—iS(2n +1) f4n—2s+1 an —925S+I1 3S HI
(20) À En iyru.
où nous avons posé pour abréger
Wan = O0; < Oo] (21) | O3 41 = — 9; W3n+9 — 0.
P s,. de la mê f Et ce [ osons, de la même formule, m—2n et x —0, x —— -; puis soustrayons les deux équations ainsi obtenues, nous aurons S=n—î1
