LEE
De plus, la méthode que nous venons d'appliquer dans les para-
graphes précédents donnera ici le théorème :
1. Soit m1 un entier quelconque, et soit f,(x) une fonction partielle quelconque, formée des ensembles (1) et (2), toutes les fonctions
(6) Pr), (2); Er) (n=25),
où F,(æ)est la fonction définie par la formule (16) du parugraphe XXII, sont des polynomes réguliers
Dans ce cas, nous aurons le développement
7 c — De ET
(7) Ph(æ) Ÿ C2q)! ma Bn-25(& );
ce qui donnera, en introduisant 27 au lieu de », puis posant #7 —0,
la formule récursive trés curieuse .
(8) 9 Ba + (—1)"(s5n— MRSsn 1) q=nr—1 — ÿ y Jens, 27/2 q=9
où #A(m) est le nombre défini par la formule (21) du para graphe XXXIT et dépendant des facteurs premiers de m, dont le
nombre est égal à r.
Introduisons ensuite, dans (8), au lieu des s,, les sommes cor-
respondantes $,, puis additionnons lés deux formules ainsi obtenues, nous aurons toujours, quelles que soient Îles fonctions partielles complémentaires appliquées,
(9) (—1i)m Lan—1(M) B,+(—1)2(Son — 111 S2n-1) q=n—1 : 6 - = V (— 1 ( : 1) Sog M2 21B; 5.
pe 2q q=0 »
Posons encore, dans (8),
T1 —10; 110), Se She 9 il résulte les deux formules (10) (322— 5)(221-1—:1)B, q=n—-1 à 2n L = (24 q=0 (11) (322— 3)(222-1—1)B, g=n—1 fon ; rte CS à > us 52462n-29B, , + (—1)#(67n — 5)5°2-1.
Quant à l’application des formules (20) et (23) du paragraphe XXXIT, nous supposons » impair, puis nous remplaçons l’ensemble (2) par cet autre :
(HE) | Bs= C1).
Soient ensuite ,(x) et k,(æ) deux fonctions partielles complémentaires, formées des deux ensembles (1) et (12), nous posons
q=n ; . (a à æi-q (NS) è RER) SN ES doi RE ne (a — q)!
GET s" z ". ff (14) k, (x) = LS eines Car m4 (n—q)!
ce qui donnera SE (15) co D, (— 1) 49 04,
CHAP. VII. — LES FONCTIONS B,(px) £t Ex(pæ). 143 D NT = CR d'où particulièrement, pour y — 0, (16) 50 + 5 = 0.
Cela posé, nous aurons le théorème :
Il. Soit m>1 un nombre entier impair, et soit ha(æ) une fonction partielle quelconque formée des ensembles (1) et (12), toutes les fonctions
(17) e (= Gr) Etre);
où Gh(æx) est la fonction définie par la formule (19) du parugraphe XX XII, sont des polynomes réguliers.
Dans ce cas. nous aurons le développement
WI
IA
2 2724 (18) W,(æ) De. En es(æ),
d’où, en introduisant 2% +1 au lieu de x, puis posant x — 0, la
formule récursive curieuse
(— 1)” Pon+1 ( m ) T
(19) n+1 q=r + Monm- ! à ; — ù (— ( ME ) 224 m?2n—2q+1 Sog Tn-s+1— ET jlortiot 4:
de sorte que nous aurons, en vertu de (15), (20) (—1)" Pon+1 (m)Ty+1
> 2n + I - ù — (— 1)4 ( : ) 229 m?2—2q+1 24 Pr-91 LEE 1) 22n+1 Dont En 7
Dans le cas particulier, où »+ est un nombre premier, les formules récursives générales que nous venons de développer coïncident ävec
celles obtenues dans le paragraphe XXXIIT.
ms © €
