XXXVI. — Formules de Bernoulli et d’'Euler

Il est évident que les sommes de puissances semblables

{ Sn(æ, p)=28+(x+i+(x+o)t+.. +<(x+p—i)t Grey 12 So(T, P)=Pp, É où la dernière définition est à appliquer même pour + — 0, sont intimement liées aux fonctions de Bernoulli.

En effet, l'équation aux différences finies qui figure dans la définituon des B,(x) donnera immédiatement

ds. Sn—1 (æ, P)

Te (n —i)! (21);

(69:) B,(æx + p—-1) — B,(x

changeons ensuite le signe de +, puis appliquons l'équation fonctronnelle de Jacobi, savoir la formule (1) du paragraphe XV, nous aurons de même

(ir) ts; a(— +, p)

(2 015) B,(xr)—B;(x—p)— ne eve (00)

Posons particulièrement

(5 SeCp}=urpor sn, En, fe So(P)— P; Go EN LEE LEE RSS + (2p De (4) rl | Len CoNE 7,

NIELS NIELSEN

nous aurons évidemment (5) Sn(Pp)=SsnG; p)=(—1)"sn(—p, p) (nZo),

(6) n(p=ms (ip) (mo).

Quant aux fonctions d'Euler, nous avons à regarder les sommes

alternées Sn(T, p)=(r+p—r) (x +p—2)"

BE 0e So(T, p) — LE

où la dernière définition doit être applicable même pour x = 0. Cela posé, nous aurons, en vertu de l'équation aux différences finies qui figure dans la définition des E, (zx),

Gn(T; P)

d’où, en appliquant l’équation fonctionnelle de Jacobi,

(9) En(z)—(—1)? Eu(x — p) = (neo)

Posons particulièrement Sax(p)=pt--(p—1)"+(p—2)t—...+(—1)r-trr,

(9 Ho EEE

nous aurons, par conséquent,

(11) Sn(P)= Sa(, P)= (0er Lon(— D, p) … (no), »

tandis que les définitions

(12) | Tn(p) =(2p—0%—(2p —3)}+ (ap —5)—.. ,+(—r)r=1u, ©) Lt) = ——

donnent de même

(13) Fn(Pp) =2"0n (2. p) (nZo).

Remarquons encore que les deux sommes Sn(x, p) et s(x,p)

sont liées par la relation

et que nous aurons de plus

(16) Sn(T, P+q)—Sn(T, p) = Sn(x +p,q), (17) Sn(TÆ, p+q)—(—1)7o(x, p)=5,(x+p,g)

Soit ensuite d un nombre différent de zéro, nous aurons, de même,

(8) at+(a+d}+(a+od)}t+...+.a- (p—ndv= drsn(%s p) (19) (a+ (p— Dana + (pa). +(iptars d'on(S p)s

formules qui nous seront très utiles dans nos recherches suivantes. Posons maintenant, dans (2) et (8), x —1, il résulte immédia-

tement

(20) Sa(p) = n21[Bz1:1(p) — BrH(0)],

(rm) Sn(p) =nR![Ex(p) —(—1)PE,(0)],

ce qui donnera la formule, indiquée déjà par Jacques Bernoulli ("),

tes

LT AES - ne. : n—25+1 2 atple ue TRE n +1 (re 25 ‘)8r (r22);