XLIV. — Généralisations des formules de von Ettingshausen
Supposons dans la formule générale (10) du paragraphe précé- | dent, 4 = 0, remplaçons q par g — 1, où |
puis posons pour abréger
, x Il hypothèse æ = 0 donnera
LE HET 7 P | (2) > (,2,)G+g—st8,.(0) : rt ; + > D, À, )6r +951 (0) = 0.
SN
Soit maintenant run nombre pair, savoir ; — 2m, nous aurons, en divisant par (g — 1)! les deux membres de Pas
Pet : ee 9 ! : DUO ROIS STONES 3 DITES Ex ; ( ) ES ( far. get By.
S="9 cn—1 ET n 2m — 95 —1 De Ÿ (SL ESS es ; bre 0:
- DMEIONE To ;
On voit que l'hypothèse g = 1, d’où, en vertu de (1), MEDP=EONMIEET
donnera la formule la plus élégante de ce genre, savoir
formule que Stern (!) a trouvée par la méthode transcendante ordinaire.
Quant à la formule (4), elle se présente sous la forme la plus élégante, si nous posons p—n+1, ce qui donnera m—n; la
formule ainsi obtenue
Eu. cn—1i 2 En à : £ n +1) ; 4 N° Re n rss Li (5) Dre Pc 20! = PL ( 1) mn n=s = 0 (BE)
est trouvée par von Ettingshausen (?), à l'aide du calcul aux diilé-
(!) Beiträgezur Theorie der Bernoullischen und Eulerschen Zallen, p.5-16;
Mémoires de la Societé de Goettingue, 1878.
(2) Vorlesungen über die hôhere Mathemati*, t. {, p. 284-285. Vienne, 182.
rences finies, et représente la première formule incomplète connue, que je sache. Par une faute d'impression, von Ettingshausen a supprimé Le signe alterné dans sa formule, de sorte qu'il indique qu'une somme de nombres positifs est égale à zéro.
Cette belle découverte de von Ettingshausen semble être parfaitemént oubliée, de sorte que l’on prête à von Seidel et à Stern l'honneur d’avoir découvert la première formule incomplète de ce genre, un demi-siècle après la publication du livre de von Etuüngshausen. Güpel (!), dans sa petite note relative à une publicauon de Schlôümilch, mentionne le livre de von Ettingshausen, sans citation de la formule remarquable dont il s’agit.
Supposons, dans (5), n —2#k, respectivement #7 —=2k<+1, la formule de von Ettingshausen content les ensembles de nombres
de Bernoulli
Box. BE EC LD B:751, B>r, A STE
Soit ensuite, dans (3), 9 —=2, cé qui donnera, en vertu de (1),
OST RTE D)
il résulte :
ms. He \ \ fie dI P kr EF 1 (6) Dai ) St (2 m 2S +1)Bme S=—= 0 <n-71l S , n :
—S > (— 1} fe % 9 (2m — 25+1)B,;- = 0; sS—=0
remplaçons, dans cette formule, x et p par » + 7, ce qui donnera
mr, nous aurons la formule la plus simple de ce genre
<n =à \ [AR HI (5 res (an —2s+1)B,; ,=0 (es) S—0
formule que von Seidel (2?) a trouvée à l'aide du calcul aux différences finies.
1) Archiv de Grunert,t. 3, 1845, p. 654 *) Sitsungsberichte der Münchener Akademie, 19795 Pe104-165 ; :
On voit que la formule (3) contient précisément les mêmes nom-
bres de Bernoulli que celle de von Etungshausen. Revenons maintenant à la formule générale (2), puis supposons
impair le nombre 7, savoir r — 2 mn + 1, 1l résulte
cp 8 NP ( P 2Mm+q—25—1\, ( ) LA | 1) SEE ( ET B,-s S—=0 Ne?
DOG DS EN 7 )Bue
Soit particulièrement g — 1, ce qui donnera, en vertu de (1)*
DS IOErDE EC"
nous aurons la formule de Stern (!)
NS NES et Ad pee molle (9) 4 { 1) Dire ) NL Se 4 ( 1) os 0 Byr—s
on voit que la formule la plus simple de ce genre correspond à p=n+2, ce qui donnera m = n.
2, ce qui donnera, en vertu de (1),
Posons encore, dans (8), g = 2, n + p = 2m + 3,
nous aurons la formule
\ ” ) (2m—9s—1))By-s
3 &| + P (10) > (2, s—=0 N° (= ox ( 4 ) (2 DES EN") ns pe) DEEE
dont le cas le plus simple correspond à p = ñn +1, Savoir mn —1,
ce qui conduira de nouveau à la formule (5) de von Seidel. Quant à la formule sénérale (9) du paragra phe précédent, nous
(1) Beiträge, p. 7-16; Memoires de la Socivté de Goettingue, 1878.
186 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D EULER. posons 4 — 0; supposons ensuite
DE
l'hypothèse æ —0o donnera, en vertu de la définition (1) du nom-
bre 7, $S=p (Gn) > (P)er+ gs) E,..(o)
+Ÿ x (®) (r+g—s)lE;(o)=0.
Soit maintenant r un nombre impair, savoir 7 = 27 +1, nous aurons, en divisant par g! les deux nombres de (11),
<e | \N PC DÉS ASE (12) 2 1) de : }? Tes — NE CE MT CES NE EE PA sn Ye q ) DST, SE —0;
le cas particulier qui correspond à 4 — 0, savoir R+Pp—=IMm+I, appartient à Stern (!). Posons encore p = »r + 1, ce qui donnera
mn, nous trouvons la formule la plus simple de ce genre. Posons encore, dans (12), g —1, savoir
REp—=2MmM +2,
nous aurons la formule la plus simple de ce genre en supposant
P—=A2, ce qui donnera m — n — 1. De cette manière nous trouvons la formule de von Seidel (à)
DA ’ Nr .
(13) Jet RES) 0 (rep)
(1) Beiträge, p. 7-16; Mémoires de la Société de Goettingue, 1878. (°) Sitzsungsberichte der Münchener Akademie, 18 De Une
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Ou, ce qui est évidemment la même chose,
- <n S à n (14 TS D2n—2$ = ; 1) Det) te DB = 0 nt) S=-0 Soit ensuite, dans (11), 7 un nombre pair, Savoir 7 = 2m, nous aurons GP — Ë L ) 2M + q—25$—1I\ (15) Ÿ (à à ) Ts 2 k DS EUX q / S—= 0 - n—1 =HACE NT nm \ fom+q—2s—1 =. » me are DM ES:
si DST q ï
la formule obtenue de (15), en y supposant 9 — 0, est due à Stern('). Posons p = n + 2, ce qui donnera m — n + 1, nous trouvons la formule la plus simple de ce genre.
Posons encore, dans (15), g—=1, p=nkHi, ce qui donnera m=— A, nous retrouvons la formule (13) de von Seidel.
Les formules générales que nous venons de développer donnent quelques formules spéciales qui nous seront très utiles dans nos recherches suivantes.
En effet, posons dans (4) et (9), A—=2, p— 2m —1, respectivement p — 2m, il résulte les formules récursives homogènes
