XLIII. — Développement d’un polynome entier

Les formules récursives que nous venons de développer pour le calcul successif des B,, T,, E, sont complètes, abstraction faite d’une seule, savoir la formule (31) du paragraphe XX VII, parce qu'elles contiennent tous les nombres du même genre aux indices inférieurs.

Déjà, en 1825, Andreas von Ettingshausen a découvert une formule récursive incomplète qui ne contient que les nombres

> f B», Bh1, B;, EN TT

où p— = D 2 selon que n est supposé pair ou impair. C’est 2 4

pourquoi nous désignons comme formules récursives incomplètes

de première espèce des formules récursives qui ne contiennent pas

les premiers des nombres de Bernoulli, des coefficients des tangentes

et des nombres d’Euler.

Quoique les deux formules générales (9) et (10) du paragraphe XX VIT soient, pour g = 0, respectivement q n, des formules incomplètes de première espèce, il nous semble plus avantageux d'étudier le polynome entier

où æ et a sont des variables complexes quelconques, tandis que x et p sont des entiers non négatifs. En effet, nous trouvons de cette manière, d’un seul coup, des géuéralisations très étendues des formules connues de ce genre, et beaucoup d’autres.

Appliquons l'identité évidente

f(a)= (ea)ef(x + a) r— 22) 17,

il résulte, en vertu de la formule binomiale,

S=pP

pie = À (P) rare rer

s—0 et cette autre identité f(æ—1) =(æ —-a)P[(z—2)—(1—2%)}"

donnera de même fa-n=Yir(?) (1—2a)(æ—a)r+r ss,

Cela posé, les expressions ainsi obtenues pour f(x) + f(æ — 1) donnent immédiatement ces deux développements

S—=p CM Ka,p(e)+ D (2 (n+Æ p=s)lG—=02e2)B;2,- (270)

s —=0 S—=It 5 | Ye )eep-ota a Br+p-541(7 — 4), S—0 S=p CSA > IC ps) (95%: )E 7e, rec) s—0 s=n à n nf Ve à +Ÿ (—1)s é ) GR p—s)t(t=2ÿŸ En, @œ—<), s=0 s

où le terme K,,,(%) qui figure au second membre de (2) est imdépendant de la variable +.

Quant à la détermination de la valeur de K», (4), cherchons les dérivées des deux membres de (2), 1l résulte

S=hp

erL »

À a (n+p—s)! (1 2a) BAT +5),

tandis que nous aurons, en vertu de (2),

(5) SR) ER ane er a)P+ p(æ+a)t(x +1 »#)r-1,

Développons ensuite, en vertu de (1), les deux fonctions qui figurent au second membre de (5), nous trouvons précisément tous

les termes qui figurent au second membre de (4), ce qui donnera évidemment A Kn1,pCa)+p Kr;,-1(2) = 0,

ou, ce qui est la même chose,

re DEL K,p(2) — nat);

c’est-à-dire que nous aurons généralement

(6) Ka,p(at) = (n+p)!

Appliquons maintenant l'identité évidente

S= M (æ+a)" (T + a —71)"1 (æ + a)" \ (— 1) (1— 24)(x — a)nes = ————© — —————————— — = ?

m! m ! pr! md s!'(m—s)!

= 0 nous aurons l'identité .

S=m+l RE FLAN Mme ELA (7) DT — Br = D) , si D ya —5+ 1 \ 4 2} S—0

car les deux membres de cette formule sont des éléments de deux suites harmoniques.

Multiplions ensuite par m1! les deux membres de (7), ilest évident que la formule ainsi obtenue peut être déduite de (2) en y posant p—0, nn — 1, de sorte que nous aurons

(Cr) (GTA El

Ko(zx)= )

* É ? ‘€ BEC] va ap »

ce qui donnera, en vertu de (0), l'expression générale

(—%)27h pi de 24 )+rH1,

(8) RTE EE Dei}

Soit ensuite g<<n+p un positif entier, on aura, en vertu

182 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D'EULER. de (3), (9) Dél(æ+e)(r+i—a)r]

S—=pP =

= (P}+p—stte Enr g sav) s s=0 s=n

TS K — t( = SE, 1 —S æ—1), +Y 1) HIT S)AAUE 2%) + q=s( /

où il faut supprimer les termes contenant les fonctions d'Euler à indice négatif. Il est évident du reste que-la formule (3) est un cas particulier de (9), correspondant à l'hypothèse g — 0.

La formule (2) donnera de même

Go) DEti[(æ—a}(x+1—2)]

S=p - = D (2) (n+p—s)!(1— 2) Brip-g=5(æ + a) 3 S=0 -Yex() (n+p—s)!(1—2a) Brrp-g-5(x — 4),

où il faut supprimer les termes qui correspondent à des fonctions de Bernoulli à indice négatif. ‘

Dans ce cas 1l est évident que la formule (2) n’est pas un cas paruculier de (10); c’est-à-dire qu'il faut étudier séparément la formule (2) et l’ensemble des formules (ro).