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DS (— > de ) DR RCzTIERE Br;

ce qui donnera pour p—n—1, Savoir M —n, la formule la plus

NIELS NIELSEN 13

194 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D'EULER. 4 élégante de ce genre LE 1 TO ETLEAN)I TON OS DES (3) HAN Le Sete 4 Gr 25 } 2n —2s :

s—=0 > ge < 2s : “d ODA 5, — S EE — B en à | es > : en DNS IE LS s—=0 : ; L'hypothèse » + p — 2m donnera de même, en vertu de (2), 4 ee 1 +1 < = Se : : :

4) (— 1)/+n J ! P: En >: = 1) ( P 2211—2$ Bt : (2m +1)! 25+1/ 2m—2s s —0 Fe EE DRE 9 nn 5 En 1)s Bh= ; SEE 5-26 s—0

soit particulièrement, dans (4), p—n—m;, nous retrouvons la formule de Saalschütz, savoir la formule (4) du paragraphe XLV. En second lieu, posons dans la formule (10) du paragraphe XLIJII

I I | ae PES CAE) R+p=Mm +, 0=q=n—»2, n 4 ETER il résulte S=p | « m + q—s)|!

(5) DIRE S=0 “ sS=n ER EN Ù Dodo, 2 S Ss=0 ,

Soit maintenant » un nombre pair, savoir m — 2k, nous aurons

ob à : a NS PIN RES as S—=0 <E ; = AVÈTE 2K+q — 925$ | + Ci) : its 2% 5)B;= 0,

? A d’où, en posant 9 —0 et p == n — m, on retrouve la formule de Seidel, savoir la formule (14) du paragraphe XLIV. Supposons ensuite impair le nombre m», savoir m — 2 k + Fil résulte, en vertu de (5),

SEE CS | 2k+g— (5) N | 2 NE + q up, ET PS mn 9 \ q A " ; EL n 2k + qg —2s 2 = 2 ÉD ten : )e so) Pie

1 Ês .

d’où, en posant q = 0,.p — n+1, ce qui donnera # — n,

En dernier lieu, nous avons à étudier la formule (9) du para-

graphe XLIIL; posons 4 = — x, il résulte l’identité S=p Q :

(9) 0 = > à (n+p—s)!'(1—2x) Errpr7 (0) S=0 +Ù (— 1) es) (n+p—s)!(1—2%) Enrp+g-s(— 2%),

où il faut supposer par conséquento£ q=n—1.

ES à 1 I Soit parüculièrement æ — >:

ou nHp=2m ++ 1;

nous aurons respectivement

, é P IM + —2S—1I (10) > (— 1) Es) ( q Le 5==0 # Ÿ o RCI Res dm 25 q

et <P — 9 = \ OAI PSE EUR (tt) Da (27 ) ( 1 Ts DS 4) q s—=0 El ZT] } DS à 0: = = D (— u( À ) ( 7 )Enss sd DST q S=—=0

les formules spéciales obtenues de (10) et (11) en post 4 = 9 sont dues à Stern (!). / Il est évident que l’on peut déduire un grand nombre de formules

plus spéciales, en donnant à », p, g des valeurs particulières; nous nous bornerons à indiquer les applications suivantes :