CHAPITRE X

Déjà en 1856, Knar (!') a découvert deux formules récursives qui ne contiennent que des nombres de Bernoulli, dont les indices sont des nombres pairs, respectivement impairs; cependant cette belle découverte est restée inaperçue pendant un quart de siècle.

En même temps que Knar, Kronecker (2?) a trouvé des développemients généraux qui donnent facilement des formules récursives pour les nombres de Bernoulli et les coefficients des tangentes, dont les indices forment une série arithmétique quelconque. Cependant l'illustre géomètre allemand n’a pas observé les formules en ques-

tion; du reste, il ne semble pas possible de les déduire par une

méthode élémentaire, parce qu'elles ne sont pas régulières (3). Dans les paragraphes suivants nous avons à étudier de telles formules récursives pour les nombres de Bernoulli, les coefficients des tangentes et les nombres d'Euler, dont les indices forment une suite arithmétique quelconque, formules que nous désignons comme formules récursives incomplètes de seconde espèce. Soient, à cet effet,»

(1) A, XL, 3; eat X f—4 (KÆ 2:92 )

des nombres complexes différents de zéro, mais quelconques du reste, nous formons d’après Kronecker toutes les 2471 expressions

(') Archive de Grunert, t. 21, 1856, p. 455-456.

(*) Berichte der kgl. sächs. Gesellschaft der Wissenschaften, t. 65, 1913, p. 25. È

(*) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2° série, t. 1, 1856, POSE

obtenues de

(2) | Du Ewt.. os,

en combinant les signes + et — d’une manière quelconque.

Supposons ensuite qu'une certaine de ces expressions w, choisie arbitrairement du reste, contienne p signes positifs et g signes négatifs, de sorte que

(3) pEg—=k—\1,

nous désignons g comme le nombre caractéristique de w, et il est évident que le nombre — w aura le nombre caractéristique p.

Ces définitions adoptées, nous démontrerons sans peine le théorème :